廣義相對論中的質量

廣義相對論中的質量此一概念較之於狹義相對論中的質量更為複雜。事實上廣義相對論並沒有對「質量」這一詞彙提供單一的定義，而是提供了許多不同的定義，適用於不同的場合。在一些場合下，廣義相對論中一系統之質量甚至可能是無法定義的。

狹義相對論中的質量

在狹義相對論中，一孤立系統之不變質量（此後單純稱為「質量」）可以用此系統的能量與動量來定義：

m={\frac {\sqrt {E^{2}-\left(pc\right)^{2}}}{c^{2}}}

其中E 是系統總能量，p是系統總動量，而c 是光速。簡明地說，狹義相對論中一系統的質量為能量-動量四維向量的範數(norm)。

沿用狹義相對論定義的障礙

欲將狹義相對論中的質量定義推廣到廣義相對論，會遇到兩個主要難關。第一個難關在於如何找出一系統之總能量與總動量，情況並不明確。在平直時空只需做積分，將系統各部份之能量-動量四維向量加總在一起，即可找出整個系統的總能量-動量四維向量。

但不幸地，如此簡單的程序並無法直接推廣到廣義相對論，以各處的四維向量存在於不同的切空間，而無法協變式地相加在一起。

第二個難關在於：為了要在廣義相對論中定義質量，必需維持能量是一個守恆量，而已詮釋為時空曲率的「重力場」仍帶有能量，需考慮進去。

但不幸地，廣義相對論中的能量守恆遠不比其他物理學理論中直接。在其他古典理論中，例如牛頓重力、電磁學、流體力學(hydrodynamics)，是可以派定一明確的能量密度值。舉例來說，電場E的能量密度是為 ${1 \over 2}\epsilon _{0}E^{2}$ 。

在廣義相對論則不然。事實顯示：一般來說，不可能將「重力能量」派定到一個明確位置上。^[1]

欲解決廣義相對論中能量守恆問題的近代手法是完全避免用到「重力場」這一概念，並將能量守恆視為時間平移對稱性(time translation symmetry)的結果。諾特定理(Noether's theorem)當初發展的目的就是特別針對此一問題，每當有時間平移對稱性存在時，則定義了一守恆能量。

然而並非所有系統都有此一要求的時間平移對稱性。對於不具有時間平移對稱性的系統，在廣義相對論中則沒有對於能量的普適定義。