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經典力學裏,對於一個動力系統,隨著時間的演進,所有保持不變的物理量都稱為守恆量conserved quantity),又稱為運動常數[1]由於很多物理定律會表達某種守恆行為,對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如,假設在某系統內涉及的作用力保守力,則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力,則此系統的角動量是守恆量。

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動量编辑

根據動量守恆定律,假若一個粒子所感受到的外力,其總向量和為零,則這粒子的動量保持不變,是一個守恆量。在這狀況下,粒子會呈勻速運動或著靜止不變。[2]以方程式表達,假設粒子感受到的淨外力為零:

 

根據牛頓第二定律,淨外力與動量   的關係式為

 

所以,動量是一個常數,是一個守恆量。

角動量编辑

根據角動量守恒定律,假若一個粒子所感受到的外力矩,其其總向量和為零,則這粒子的角動量保持不變,是一個守恆量。在這狀況下,粒子會呈勻角運動或直線運動。[2]以方程式表達,假設粒子感受到的淨外力矩   為零:

 

淨外力矩與角動量   的關係式為

 

所以,角動量是一個常數,是一個守恆量。

能量编辑

在經典力學裏,粒子的能量定義為動能勢能的代數和。根據能量守恒定律,假若一個粒子所感受到的外力都是保守力,則這粒子的能量保持不變,是一個守恆量。[2]以方程式表達,能量   為動能   與勢能   的代數和

 

粒子的動能與運動速度   的關係為

 

其中,  是粒子的質量

而對於保守系統,勢能與淨保守力   的關係為

 

能量對於時間的導數為

 

所以,能量是一個常數,是一個守恆量。

能量函數编辑

思考一個物理系統,其拉格朗日量是动能   与势能   的差值:

 

通常,動能的參數為廣義速度   (符號上方的點號表示對於時間  全導數),而勢能的參數為廣義坐標   ,所以,拉格朗日量的參數為  

這物理系統的運動軌道,以拉格朗日方程式表示為

 

其中,  是时间。

拉格朗日量對於時間的全導數為

 

將拉格朗日方程式代入,可以得到

 

定義「能量函數」  

 

則能量函數與拉格朗日量的關係為

 

假若拉格朗日量顯性地與時間無關,   ,則能量函數是一個常數,是一個守恆量。設定   ,這常數   可以稱為這物理系統的能量。因此,這物理系統的能量守恆

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley: pp. 2–5, 61, 312–324, 1980, ISBN 0201657023 (英语)