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在一个旋转系统裏,作用力、位置向量、力矩、动量、角动量,這些物理量之間的关系。

物理学裏,作用力促使物體繞著轉動軸支點轉動的趨向,[1]稱為力矩torque),也就是扭转的力。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推擠或拖拉涉及到作用力 ,而扭转則涉及到力矩。如图右,力矩等於径向向量与作用力外積

簡略地说,力矩是一種施加於好像螺栓飛輪一類的物體的扭轉力。例如,用扳手的開口箝緊螺栓螺帽,然後轉動扳手,這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

根據国际单位制,力矩的单位是牛顿。本物理量非能量,因此不能以焦耳(J)作單位;根據英制单位,力矩的单位则是英尺磅。力矩的表示符号是希腊字母,或

力矩與三個物理量有關:施加的作用力、從轉軸到施力點的位移向量、兩個向量之間的夾角。力矩以向量方程式表示為

力矩的大小為

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历史编辑

力矩的概念,起源于阿基米德杠杆的研究。

定义编辑

 
用右手定則决定力矩方向

力矩等於作用於杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如,3 牛顿的作用力,施加於离支点2 处,所产生的力矩,等於1牛顿的作用力,施加於离支点6米处,所产生的力矩。力矩是个向量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則来决定。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲,伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线,则大拇指指向力矩的方向[2]

 
假設作用力 施加於位置為 的粒子。選擇原點(以紅點表示)為參考點,只有垂直分量 會產生力矩。這力矩 的大小為 ,方向為垂直於屏幕向外。

更一般地,如圖右,假設作用力 施加於位置為 的粒子。選擇原點為參考點,力矩 以方程式定義為

 

力矩大小為

 

其中, 是兩個向量  之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

 

其中, 是作用力 對於 的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質,可推論,力矩垂直於位置向量 和作用力 。力矩的方向與旋轉軸平行,由右手定則決定。

力矩與角動量之間的關係编辑

 
地心引力 的力矩造成角动量 的改变。因此,陀螺呈现进动現象。

假設一個粒子的位置為 ,動量為 。選擇原點為參考點,此粒子的角動量 

 

粒子的角動量對於時間的導數為

 

其中, 是質量, 是速度, 是加速度。

應用牛頓第二定律 ,可以得到

 

按照力矩的定義, ,所以,

 

作用於一物體的力矩,決定了此物體的角動量 對於時間 的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體,則這幾個力矩的合力矩 共同決定角動量的對於時間的變化:

 

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動,

 

其中, 是物體對於固定軸的轉動慣量 是物體的角速度

所以,取上述方程式對時間的導數:

 

其中, 是物體的角加速度

单位编辑

力矩的定义是距离乘以作用力。根據国际单位制,力矩的单位是牛顿 [3](Nm)。虽然牛顿与米的次序,在数学上,是可以交换的,但是国际重量测量局Bureau International des Poids et Mesures)规定这次序应是牛顿 米,而不是米 牛顿[4]

根據国际单位制能量功量的单位是焦耳,定义为1牛顿 米。但是,焦耳不是力矩的单位。因为,能量是力点积距离的标量;而力矩是距离叉积作用力的向量。当然,量纲相同并不尽是巧合,使1牛顿 米的力矩,作用1 全转,需要恰巧 焦耳的能量:

 

其中, 是能量, 是移动的角度,单位是弧度

根據英制,力矩的单位是英尺 磅。

矩臂方程式编辑

 
矩臂图

在物理学外,其他的学术界裡,力矩时常会如以下定义:

 

右图显示出矩臂(moment arm)、前面所提及的相对位置 、作用力 (force)。这个定义並没有指出力矩的方向,只有力矩的大小。所以,并不适用于三维空间问题。

静力概念编辑

当一个物体在静态平衡时,合力是零,对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

 
 
 

这里, 是作用力 分别在x-轴与y-轴的分量。假若,这三个联立方程式有解,则称此系统为静定系统;不然,则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之間的關係编辑

假設施加作用力於一物體,使得此物體移動一段距離,則作用力對於此物體做了機械功。類似地,假設施加力矩於一物體,使得此物體旋轉一段角位移,則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動,以數學方程式表達,

 

其中, 是機械功,  分別是初始角和終結角, 是無窮小角位移元素。

根據功能定理 也代表物體的旋轉動能 的改變,以方程式表達,

 

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動,功率 以方程式表達為

 

請注意,力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關,而角速度是否在增加中,或在減小中,或保持不變,功率都與這些狀況無關。

實際上,在與大型輸電網路相連接的發電廠裏,可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定,而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時,必須使用一致的單位。採用國際單位制,功率的單位是瓦特,力矩的單位是牛頓-米,角速度的單位是每秒弧度(不是每分鐘轉速rpm,也不是每秒鐘轉速)。

力矩原理编辑

力矩原理闡明,幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和,等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Varignon's theorem)[5](以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農命名),以方程式表達,

 

參閱编辑

参考文献编辑

  1. ^ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
  2. ^ *喬治亞州州立大學Georgia State University)線上物理網頁:力矩的右手定則, [2007-09-08] 
  3. ^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], (原始内容存档于2007-05-19) 
  4. ^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], (原始内容存档于2005-03-16) 
  5. ^ Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
  • Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4. 

外部链接编辑