希格斯丛

数学中，希格斯丛是由全纯向量丛E和希格斯场$\varphi$（在E的自同态丛中取值的全纯1-形式，满足$\varphi \wedge \varphi =0$）组成的二元组$(E,\varphi )$。Nigel Hitchin （1987）以彼得·希格斯命名了场$\varphi$，因为它与希格斯玻色子相似。卡洛斯·辛普森后来引入了“希格斯丛”这一术语，以及条件$\varphi \wedge \varphi =0$（在希钦最初在黎曼曲面上的设置中此条件是空的）。

希格斯丛可视作全纯向量丛上平坦全纯仿射联络的“简化”，其中导数缩放至0。非阿贝尔霍奇对应指出，在合适的稳定性条件下，光滑射影复代数簇上的平坦全纯联络范畴、此簇的基本群表示范畴、此簇上的希格斯丛范畴实际上等价。于是，可由较简单的希格斯丛推导出关于平坦联络的规范理论结果。

历史

希格斯丛由希钦 (1987)首次引入，^[1]针对的是全纯向量丛E在紧黎曼曲面上的情形。希钦的论文主要讨论秩为2的向量丛（即纤维是2维向量空间）。秩2向量丛是希钦方程中主SU(2)丛的解空间。

黎曼曲面上的理论后由卡洛斯·辛普森推广到底流形为紧凯勒流形的情形。维度设为1时，会退化成希钦的理论。

稳定性

希格斯丛理论中，稳定希格斯丛的概念尤为重要。为此要先定义$\varphi$-不变子丛。

在希钦最初的讨论中，若$\varphi (L)\subset L\otimes K$（K是黎曼曲面M上的规范丛），则标记为L的秩1子丛是$\varphi$-不变的。则，当对E的每个$\varphi$-不变子丛L，都有 $${\text{deg}}L<{\frac {1}{2}}{\text{deg}}(\wedge ^{2}E),$$ 其中${\text{deg}}$是黎曼曲面上复向量丛度数的通常表示，希格斯丛$(E,\varphi )$就是稳定的。

另见

• 希钦系统

参考文献

• Corlette, Kevin. Flat G-bundles with canonical metrics. Journal of Differential Geometry. 1988, 28 (3): 361–382. MR 0965220. doi:10.4310/jdg/1214442469 . 
• Gothen, Peter B.; García-Prada, Oscar; Bradlow, Steven B., What is... a Higgs bundle? (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 2007, 54 (8): 980–981 [2024-05-23], MR 2343296, （原始内容存档 (PDF)于2024-03-04）