角度條件(angle condition)是自動控制的根軌跡圖中,有關角度的限制條件,根軌跡圖中的點和閉迴路極點、零點組成向量的角度會滿足角度條件。角度條件和量值條件可以完全確定根軌跡圖。
令系統的特徵方程為 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 {\displaystyle 1+{\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=0} ,而 G ( s ) H ( s ) = P ( s ) Q ( s ) {\displaystyle {\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}} ,可改寫為以下各因式相乘的形式
則角度條件是指
其中 k {\displaystyle k} 為整數。
也就是說
開迴路零點到 s {\displaystyle s} 點角度的和,減去開迴路極點到 s {\displaystyle s} 點角度的和,除 2 π {\displaystyle 2\pi } 後的餘數需等於 π {\displaystyle \pi } 。
假設。若將控制方程改為極坐標表示
其中 k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots } 為方程式中的解。將 G ( s ) H ( s ) {\displaystyle {\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)} 改寫為各因式相乘的形式
再將因式 ( s − a p ) {\displaystyle (s-a_{p})} 及 ( s − b q ) {\displaystyle (s-b_{q})} 用向量的形式 A p e j θ p {\displaystyle A_{p}e^{j\theta _{p}}} 及 B q e j φ q {\displaystyle B_{q}e^{j\varphi _{q}}} 表示,因此可以改寫 G ( s ) H ( s ) {\displaystyle {\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)} 如下。
簡化特徵方程式,
因此可以得到角度條件:
其中 k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots } ,
為極點1至n的角度,而
為零點1至m的角度。
也可以用類似的方式推導量值條件。