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數學上,下限拓撲是定義在實數 上的拓撲。其不同於 上的標準拓撲(由開區間生成),且具有若干有趣的性質。其為全體半開區間 [a,b) 組成的生成的拓撲,其中 ab 取遍任意實數。

這樣得到的拓撲空間稱為 Sorgenfrey 直線(得名自 Robert Sorgenfrey英语Robert Sorgenfrey)或箭頭,有時記為 . 與康托集長直線類似,Sorgenfrey 直線也經常作為點集拓撲學中不少似是而非的命題的反例。

與自身的也是有用的反例,稱為 Sorgenfrey 平面英语Sorgenfrey plane

類似地,可以定義 上的上限拓撲,其性質與下限拓撲完全相同。

性質编辑

  • 下限拓撲比實數集的標準拓撲更精細(具有更多開集)。原因是每個開區間都可寫成半開區間的可數並,故在下限拓撲中也是開集。
  • 對任意實數   , 區間   都是  闭开集(既是开集,也是闭集)。而且,對任意實數  , 集合    皆為閉開集。故  完全不连通空间
  •  緊子集只能是可數集(允許是有限集)。要證明此結論,考慮非空緊集  . 取定  , 考慮  開覆蓋
 
由於   為緊,此開覆蓋具有有限子覆蓋,故存在實數   使得區間   不含    以外的點。這對任意   為真。現選取有理數  . 對不同的  , 區間   兩兩不交,故函數   為單射,故   至多可數。
  • 「下限拓撲」得名自以下性質:  中的序列(或  收斂到   当且仅当其「從右接近  」,即對任意的   ,均存在下標   使得  .   因此可用於研究單側極限:對函數  ,    之右極限(假定陪域具有標準拓撲),等於定義域在下限拓撲下    之一般極限。
  • 分离公理而言,  完美正规豪斯多夫空間(T6 空間)。
  • 可數性公理而言,  第一可數空間可分空间,但並非第二可數空間
  • 就緊緻性而言, 林德勒夫空間仿紧空间,但並非σ-緊空間英语σ-compact space,也不是局部紧空間。
  •  可度量化,因為可分的度量空間必為第二可數。然而,  的拓撲是由一個預度量給出。
  •   是一個贝尔空间 [1]

參考資料编辑