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克拉莫-克若尼關係式

克喇末-克勒尼希關係式(英語:Kramers–Kronig relations)是數學上連系複面上半可析函數實數部和虚數部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係(系統反應必須在施力之後)意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之,反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以拉尔夫·克勒尼希汉斯·克喇末為名。

公式定義编辑

給定一複數變數 的複值函數 ,其中  是實值函數。假設此函數 複數平面上半部可析,且當 趨向無限大时,它在上半平面趋于零的速度比 快或與之相等,那么 满足以下關係:

 

 

其中 表示柯西主值。因此可析函數的實部和虚部并不獨立:函數的一部分可以重建整個函數。

推導编辑

推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數 和實數 函數 在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑:

 
克拉默斯-克朗尼希關係的積分路徑。
 

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和 成正比,因此只要 消失比 快,對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓:

 

以上第二項留數定理[1]的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式:

 

分母裡的虚數 意味者這是連系實部和虚部的公式。把 分解成實部和虚部可輕易得到更早的公式。

物理理解编辑

可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上,响应函数 概括系統對在時間 的作用力 在另一時間 的反應 

 

因為系統不能在施力前有任何反應因此當  。 可以證明這因果關係意味着 傅立葉變換  複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力,此時作用力轉换太快而系統不能即時做出反應,因此 很大時, 會趨近於0。從這些物理考量,可知物理反應函數 通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。

反應函數 的虚部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係,我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相(不做功)反應,反之亦然。

上述函数的积分路径是从  ,其中出现了负频率。幸运的是,多数系统中,正频响应决定了负频响应,这是因为 是实数变量 的傅里叶变换,根据对实数进行傅里叶变换的性质,  是频率 的偶函数,而  的奇函数。

根据该性质,积分可以从正负无穷区间约化为 的区间上。考虑实部 的第一个关系,积分函数上下同乘 可得:

 

由于 为奇函数,第二项为零,剩下的部分为

 

类似的推导亦可用于虚部:

 

该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。

參考文献编辑

  1. ^ G. Arfken. Mathematical Methods for Physicists. Orlando: Academic Press. 1985. ISBN 0120598779.