克拉莫-克若尼關係式

克喇末-克勒尼希關係式(英語:Kramers–Kronig relations)是數學上連結複面上半可析函數實部和虛部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係(系統反應必須在施力之後)意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之,反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以拉爾夫·克勒尼希漢斯·克喇末為名。

公式定義

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給定一複數變數 的複值函數 ,其中  是實值函數。假設此函數 複數平面上半部可析,且當 趨向無限大時,它在上半平面趨於零的速度比 快或與之相等,那麼 滿足以下關係:

 

 

其中 表示柯西主值。因此可析函數的實部和虛部並不獨立:函數的一部分可以重建整個函數。

推導

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推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數 和實數 函數 在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑:

 
克拉默斯-克朗尼希關係的積分路徑。
 

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和 成正比,因此只要 消失比 快,對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓:

 

以上第二項留數定理[1]的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式:

 

分母裏的虛數 意味者這是連系實部和虛部的公式。把 分解成實部和虛部可輕易得到更早的公式。

物理理解

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可以將Kramers-Kronig關係應用於響應函數理論。物理上,響應函數 概括系統對在時間 的作用力 在另一時間 的反應 

 

因為系統不能在施力前有任何反應因此當  。 可以證明這因果關係意味着 傅立葉變換  複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力,此時作用力轉換太快而系統不能即時做出反應,因此 很大時, 會趨近於0。從這些物理考量,可知物理反應函數 通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。

反應函數 的虛部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係,我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相(不做功)反應,反之亦然。

上述函數的積分路徑是從  ,其中出現了負頻率。幸運的是,多數系統中,正頻響應決定了負頻響應,這是因為 是實數變量 的傅里葉變換,根據對實數進行傅里葉變換的性質,  是頻率 的偶函數,而  的奇函數。

根據該性質,積分可以從正負無窮區間約化為 的區間上。考慮實部 的第一個關係,積分函數上下同乘 可得:

 

由於 為奇函數,第二項為零,剩下的部分為

 

類似的推導亦可用於虛部:

 

該 Kramers-Kronig 關係在物理響應函數上的很有用處。

參考文獻

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  1. ^ G. Arfken. Mathematical Methods for Physicists. Orlando: Academic Press. 1985. ISBN 0120598779.