克喇末-克勒尼希关系

克喇末-克勒尼希关系式(英语:Kramers–Kronig relations)是数学上连结复面上半可析函数实部和虚部的公式。此关系式常用于物理系统的线性反应函数。物理上因果关系(系统反应必须在施力之后)意味着反应函数必须符合复面上半的可析性。反之,反应函数的可析性意味着相应物理系统的因果性。此关系式以拉尔夫·克勒尼希汉斯·克喇末为名。

公式定义

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给定一复数变数 的复值函数 ,其中  是实值函数。假设此函数 复数平面上半部可析,且当 趋向无限大时,它在上半平面趋于零的速度比 快或与之相等,那么 满足以下关系:

 

 

其中 表示柯西主值。因此可析函数的实部和虚部并不独立:函数的一部分可以重建整个函数。

推导

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推导克喇末-克勒尼希关系式是留数定理的基本应用。对任何复面上半可析函数 和实数 函数 在复面上半可析。留数定理得到对任何在复面上半的积分路径:

 
克拉默斯-克朗尼希关系的积分路径。
 

选用实轴上的路径、跳过任何实轴上极点、再以复面上半圆完成。把积分分解成三部分。其中半圆部分长度和 成正比,因此只要 消失比 快,对半圆部分积分趋向零。因此积分只剩实轴上直线部和跳过极点的小半圆:

 

以上第二项留数定理[1]的结果。重组后得到克喇末-克勒尼希关系式:

 

分母里的虚数 意味者这是连系实部和虚部的公式。把 分解成实部和虚部可轻易得到更早的公式。

物理理解

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可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上,响应函数 概括系统对在时间 的作用力 在另一时间 的反应 

 

因为系统不能在施力前有任何反应因此当  。 可以证明这因果关系意味着 傅立叶变换  复面上半可析。另外如果我们施加系统一个远高于它最高共振频率的高频作用力,此时作用力转换太快而系统不能即时做出反应,因此 很大时, 会趋近于0。从这些物理考量,可知物理反应函数 通常符合克喇末-克勒尼希关系式的前提条件。

反应函数 的虚部和作用力异相。它概括系统如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希关系,我们可以透过观察系统能量消耗而得到它对作用力的同相(不做功)反应,反之亦然。

上述函数的积分路径是从  ,其中出现了负频率。幸运的是,多数系统中,正频响应决定了负频响应,这是因为 是实数变量 的傅里叶变换,根据对实数进行傅里叶变换的性质,  是频率 的偶函数,而  的奇函数。

根据该性质,积分可以从正负无穷区间约化为 的区间上。考虑实部 的第一个关系,积分函数上下同乘 可得:

 

由于 为奇函数,第二项为零,剩下的部分为

 

类似的推导亦可用于虚部:

 

该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。

参考文献

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  1. ^ G. Arfken. Mathematical Methods for Physicists. Orlando: Academic Press. 1985. ISBN 0120598779.