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在數學中,分段定義的函數稱為分段函數,是由多個子函數而定義的,施加到主函數的域的一定的時間間隔的每個子函數(子域)。分段實際上是一種表達函數的方式,而不是函數本身的一個特徵,但是具有額外的限定,可以描述函數的本質。例如,分段多項式函數是在其每個子域上是多項式的函數,但是每個子域上可能是不同的。 字分段也用來描述適用於每件分段定義的函數的任何屬性,但不一定保持為函數的整個域。一個函數是分段微分的或分段連續微分的,如果每個子塊在整個子域內是可區分的,即使整個函數在塊之間的上可能是不可區分的。在凸分析英语Convex analysis中,導數的概念可以被分段函數的子導數的概念取代。儘管分段定義中的“塊”不一定是間隔,但是除非是間隔,否則函數不被稱為分段線性分段連續分段可微

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符號和解釋编辑

 
絕對值函數 的圖形

分段函數使用通用函數表示法來定義,其中函數的主體是函數和相關子域的數組。至關重要的是,在大多數情況下,只有有限數量的子域,每個子域必須是一個區間,以便將整個函數稱為分段。例如,考慮絕對值函數的分段定義:

 

對於 小於零的所有值,使用第一個函數( ),它將取消輸入值的符號,使負數為正數。對於x大於或等於零的所有值,使用第二個函數( ),它對輸入值本身進行簡單計算。 考慮分段函數  的特定值處計算:

    使用的函數
-3 3  
-0.1 0.1  
0 0  
     
5 5  

連續性编辑

 
 兩側由不同二次函数組成的分段函數

如果滿足以下條件,則分段函數在給定的時間間隔內是連續的:

  • 它在整個間隔中被定義。
  • 其構成函數在該間隔上是連續的。
  • 在該區間內的子域的每個端點處不存在不連續性。

例如,圖中的函數在其子域中是分段連續的,但在整個域中是不連續的。圖中的函數包含跳躍不連續性 

應用编辑

在應用的數學分析中,已經發現分段函數與人類視覺系統的許多模型一致,其中在第一階段將圖像感知為包括由邊緣分隔的平滑區域。特別是,剪切片已經被用作表示系統來提供2D和3D中該模型類的稀疏近似。

常見示例编辑

分段函數的具體實例包括: