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解析式:

数学中,二次函数英語:quadratic function)表示形为 ,且是常数)的多项式函数,其中,为自变量[a]分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于轴的抛物线[1]

二次函数表达式的定义是一个二次多项式,因为的最高次数是2。

如果令二次函数的值等于零,则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的或函数的零点。

目录

历史编辑

大约在公元前480年,古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。 7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人,它同时容许有正负数的根。[b] 11世纪阿拉伯的花拉子米 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲[c]

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二次方程   的两个为:

 
解方程后,我们会得到两个根:  。则  就是二次函数与 轴的交点。根的类型如下:
  •  為一元二次方程式的判別式,又記作D。
  •  ,则方程有两个不相等的根,也即与 轴有两个不重疊的交点,因为 是正数。
  •  ,则方程有两个相等的根,也即与 轴有一个切点,因为 是零。
  •  ,则方程没有實數根,也即与   轴没有交点,因为 共軛複數

  ,我们可以把 因式分解 

二次函数的形式编辑

二次函数可以表示成以下三种形式:

  •  称为一般形式多项式形式
  •  称为因子形式交点式,其中  是二次方程的两个根, , 抛物线 轴的两个交点。
  •  称为标准形式顶点形式 即為此二次函數的頂點。

把一般形式转换成因子形式时,我们需要用求根公式来算出两个根  ,或是利用十字交乘法(適用於有理數)。把一般形式转换成标准形式时,我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时,我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

 代表了二次函數的對稱軸,因此兩根的平均數即為 

  •  展開後比較後可得  

不通過    公式:

  •  
  •   (也作 )

而在三種形式中皆出現的 為此二次函數的領導係數,決定二次函數圖像開口的大小與方向。

图像编辑

 
  
 
   
 
   
  • 系数 控制了二次函数从顶点的增长(或下降)速度, 越大,函数就增长得越快。
  • 系数  控制了抛物线的对称轴(以及顶点的 坐标)。
  • 系数 控制了抛物线穿过 轴时的倾斜度(导数)。
  • 系数 控制了抛物线的高度,它是抛物线与 轴的交点。
函数 图像 函数变化 对称轴 开口方向 最大(小)值
       时,  的增大而增大;
 时,   的减小而增大
 
 
向上  
     时,   的增大而减小;
 时,   的减小而减小
 
 
向下  
     时,   的增大而增大;
 时,   的减小而增大
 
 
向上  
     时,  的增大而减小;
 时,   的减小而减小
 
 
向下  
     时,  的增大而增大;
 时,  的减小而增大
  向上   
     时,  的增大而减小;
 时,  的减小而减小
  向下   

x 截距编辑

当函数与 轴有两个交点时,设这两个交点分别为  ,由根与系数的关系得出[d]  

 [2]

顶点编辑

抛物线的顶点是它转弯的地方,也称为驻点。如果二次函数是标准形式,则顶点为 。用配方法,可以把一般形式 化为:

 
[3][4]

因此在一般形式中,抛物线的顶点是:

 
如果二次函数是因子形式 ,则两个根的平均数
 
就是顶点的 坐标,因此顶点位于
 
 时,顶点也是最大值; 时,则是最小值。

经过顶点的竖直线

 
又称为抛物线的对称轴。
  • 最大值和最小值
函数的最大值和最小值总是在驻点(又称临界点,稳定点)取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实,这种方法的好处是适用于更一般的函数。
设有函数 ,寻找它的極值时,我们必须先求出它的导数
 
然后,求出 的根:
 
因此,   值。现在,为了求出 ,我们把 代入  
 
所以,最大值或最小值的坐标为:
 

二次函数的平方根编辑

二次函数的平方根的图像要么是椭圆,要么是双曲线。如果 ,则方程 描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线 的最小值决定。如果最小值是负数,则双曲线的轴是水平的。如果是正数,则双曲线的轴是竖直的。如果 ,则方程 的图像要么是一个椭圆,要么什么也没有。如果对应的抛物线 的最大值是正数,则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数,则描述了一个空集

二元二次函数编辑

二元二次函数是以下形式的二次多项式:

 
这个函数描述了一个二次曲面。把 设为零,则描述了曲面与平面 的交线,它是一条圆锥曲线

最小值/最大值编辑

如果 ,则函数没有最大值或最小值,其图像是双曲抛物面

如果  ,则当 时函数具有最小值,当 具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点   取得,其中:

 
 
如果  ,则函数没有最大值或最小值,其图像是抛物柱面。

如果  ,则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当 时取得最大值, 时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

註釋编辑

  1. ^ 注:自变量 的取值范围为任何实数
  2. ^ 参见婆罗摩笈多 代数章节
  3. ^ 参见花拉子米 代数这章节
  4. ^ 参见韦达定理

参考资料编辑

  1. ^ 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 
  2. ^ 二次函数公式汇总(文档)百度文库
  3. ^ 贾士代. 初中代数41讲. 北京: 首都师范大学出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7. 
  4. ^ WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程 互联网档案馆存檔,存档日期2015-07-29.

参考书目编辑

參見编辑

外部連結编辑