一元二次方程
一元二次方程式是只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。
例如,,,等都是一元二次方程。
一元二次方程式的一般形式是:
歷史编辑
古巴比伦留下的陶片显示,在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年,中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程,它同時容許有正負數的根。
11世紀阿拉伯的花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum中,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二):
- 在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍;在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方;然后在方程的两边同时开二次方根。
将其转化为数学语言:解关于 的方程
在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍,即 ,得
解法编辑
阿贝尔指出,任意一元二次方程都可以根据 、 、 三个系数,通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。
一般來說,一元二次方程有兩個解,答案需提供兩個不同的數值,只要符合 的原則就可以了。
因式分解法编辑
把一个一元二次方程变形成一般形式 後,如果 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积,则一般用因式分解来解这个一元二次方程。
将方程左边分解成两个一次因式的乘积后(一般可用十字相乘法),分别令每一个因式等于零,可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程,得到的两个解都是原方程的解。
如果一元二次方程 存在两个实根 ,那么它可以因式分解为 。
例如,解一元二次方程 时,可将原方程左边分解成
公式解法编辑
對於 ,它的根可以表示為:
公式解的證明编辑
首先先將一元二次方程的一般形式 除以 ( 在一元二次方程中不為零),將會得到
當 時得到
公式解終於出現了:
一般化编辑
一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、複數或是任意数域中适用。
一元二次方程中的判别式
根的判别式编辑
对于實係数一元二次方程 , 称作一元二次方程根的判別式。根据判别式,一元二次方程的根有三种可能的情况:
- 如果 ,则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。而且這兩個根皆為
非實係數一元二次方程编辑
即係數为非实数时的一元二次方程,将系数扩展到复数域内,此时要注意根的判别式不適用於非實係數一元二次方程。
根與係數编辑
根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。
图像解法编辑
一元二次方程 的根的几何意义是二次函数 的图像(為一条抛物线)与 轴交点的x坐标。
另外一种解法是把一元二次方程 化为 的形式。
则方程 的根,就是函数 和 交点的X坐标。
通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。
计算机法编辑
在使用计算机解一元二次方程时,跟人手工计算相似,大部分情况下也是根据下面的公式去解