一元二次方程

一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

例如，$x^{2}-3x+2=0$，$\left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0$，$t^{2}-3=0$等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是：

$$ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)$$

其中，$ax^{2}$是二次项，$bx$是一次项，$c$是常数项。$a\neq 0$是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，$a\neq 0$也可以省略不写。當然，一元二次方程式有時會出現虛數根。

目录

歷史

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方。

将其转化为数学语言：解关于$x$的方程 $ax^{2}+bx=-c$

　　在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即$4a$，得

$$4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac$$

　　在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即$b^{2}$，得

$$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}$$

　　然后在方程的两边同时开二次方，得

$$2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}$$

[1]

解法

阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据$a$、$b$、$c$三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般來說，一元二次方程有兩個解，答案需提供兩個不同的數值，只要符合$a\neq 0$的原則就可以了。

因式分解法

把一个一元二次方程变形成一般形式$ax^{2}+bx+c=0$後，如果$ax^{2}+bx+c=0$能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$存在两个实根$x_{1},x_{2}$，那么它可以因式分解为$a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$。

例如，解一元二次方程$x^{2}-3x+2=0$时，可将原方程左边分解成

$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$$

所以

$$x-1=0\quad x-2=0$$

可解得

$$x_{1}=1\quad x_{2}=2$$

公式解法

对于$ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)$，它的根可以表示为：

$$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$$

有些時候也写成

$$x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}$$

公式解的证明

公式解可以由配方法得出。

首先先將一元二次方程的一般形式$ax^{2}+bx+c=0$除以$a$（$a$在一元二次方程中不為零），將會得到

$$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$$

即

$$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$$

現在可以開始配方了。為了配方，必須要加上一個常數（在這個例子裡，它是指一個不隨$x$而變的量）到等式的左邊，使等式左邊有完全平方$x^{2}+2xy+y^{2}$的樣子。

當$2xy={\frac {b}{a}}x$時得到

$$y={\frac {b}{2a}}$$

亦即當式子的兩邊加上$y^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$將得到：

$$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$$

式子的左邊變成了一個完全平方了。並且可以看出是$\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)$的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了：

$$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$$

接下來，對式子的兩邊開根號：

$$\left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{|2a|}}\Leftrightarrow x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$$

最後，式子兩邊同時減去${\frac {b}{2a}}$

公式解終於出現了：

$$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$$

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

一元二次方程中的判别式

$${\sqrt {b^{2}-4ac}}$$

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為$b^{2}-4ac$的數當中任何一個」。在某些数域中，有些數值没有平方根。

根的判别式

对于实系数一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0\left(0\right)$，$\Delta =b^{2}-4ac$称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

• 如果$\Delta >0$，则这个一元二次方程有兩个不同的实数根。如果係數都為有理數，且$\Delta$是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根都是無理數。

• 如果$\Delta =0$，则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。而且這兩個根皆為
  $$x=-{\frac {b}{2a}}$$

• 如果$\Delta <0$，则这个一元二次方程有兩個不同的複数根，且为共轭複根。這時根為
  $${\begin{aligned}x&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\x&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\\end{aligned}}$$
  其中 ${\begin{aligned}i^{2}&=-1\end{aligned}}$

非实系数一元二次方程

即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

根與係數

根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。

$$x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$$

$$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}$$

图像解法

${\color {Red}{}\Delta >0}$，则该函数与x轴相交（有两个交点）
${\color {Blue}{}\Delta =0}$，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）
${\color {Green}{}\Delta <0}$，则该函数与x轴相离（没有交点）

一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的根的几何意义是二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像（為一条抛物线）与$x$轴交点的x坐标。

$ax^{2}+bx+c=0$的解是$y=x^{2}$和$y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}$交點的X座標

另外一种解法是把一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$化为$x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}$ 的形式。

则方程$ax^{2}+bx+c=0$的根，就是函数$y=x^{2}$和$y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}$交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据下面的公式去解

$$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$$

可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)

外部連結

• 101 uses of a quadratic equation: Part I，Part II