二次函數

由二次多项式定义的函数

數學中,二次函數英語:quadratic function)表示形為 ,且是常數)的多項式函數,其中,為自變數[a]分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。二次函數的圖像是一條主軸平行於軸的拋物線[1]

解析式:

二次函數表達式的定義是一個二次多項式,因為的最高冪次是2。

如果令二次函數的值等於零,則可得一個一元二次方程式二次方程式。該方程式的解稱為方程式的或函數的零點。

歷史

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大約在公元前480年,古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程式的正根,但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程式。

7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程式的人,它同時容許有正負數的根。[b]

11世紀阿拉伯花拉子米獨立地發展了一套公式以求方程式的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum,首次將完整的一元二次方程式解法傳入歐洲[c]

二次方程式   的兩個為: 解方程式後,我們會得到兩個根:  。則  就是二次函數與 軸的交點。根的類型如下:

  •  為一元二次方程式的判別式,又記作D。
  •  ,則方程式有兩個不相等的根,也即與 軸有兩個不重疊的交點,因為 是正數。
  •  ,則方程式有兩個相等的根,也即與 軸有一個切點,因為 是零。
  •  ,則方程式沒有實數根,也即與   軸沒有交點,因為 共軛複數

  ,我們可以把 因式分解 

二次函數的形式

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二次函數可以表示成以下三種形式:

  •   稱為一般形式多項式形式
  •   稱為因子形式交點式,其中  是二次方程式的兩個根, , 拋物線 軸的兩個交點。
  •   稱為標準形式頂點形式 即為此二次函數的頂點。

把一般形式轉換成因子形式時,我們需要用求根公式來算出兩個根  ,或是利用十字交乘法(適用於有理數)。把一般形式轉換成標準形式時,我們需要用配方法。把因子形式轉換成一般形式時,我們需要把兩個因式相乘並展開。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

 代表了二次函數的對稱軸,因此兩根的平均數即為 

  •  展開後比較後可得  

不通過    公式:

  •  
  •   (也作 )

而在三種形式中皆出現的 為此二次函數的領導係數,決定二次函數圖像開口的大小與方向。

圖像

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  • 係數 控制了二次函數從頂點的增長(或下降)速度,即二次函數開口方向和大小。 越大,開口越小,函數就增長得越快。
  • 係數  控制了拋物線的對稱軸(以及頂點的 坐標)。
  • 係數 控制了拋物線穿過 軸時的傾斜度(導數)。
  • 係數 控制了拋物線最低點或最高點的高度,它是拋物線與 軸的交點。
函數 圖像 函數變化 對稱軸 開口方向 最大(小)值
   
 
 時,  的增大而增大;
 時,   的減小而增大
 
 
向上  
       時,   的增大而減小;
 時,   的減小而減小
 
 
向下  
       時,   的增大而增大;
 時,   的減小而增大
 
 
向上  
       時,  的增大而減小;
 時,   的減小而減小
 
 
向下  
       時,  的增大而增大;
 時,  的減小而增大
  向上  
       時,  的增大而減小;
 時,  的減小而減小
  向下  

x 截距

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當函數與 軸有兩個交點時,設這兩個交點分別為  ,由根與係數的關係得出[d]  

 

頂點

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拋物線的頂點是它轉彎的地方,也稱為駐點。如果二次函數是標準形式,則頂點為 。用配方法,可以把一般形式 化為: [2][3]

因此在一般形式中,拋物線的頂點是: 如果二次函數是因子形式 ,則兩個根的平均數 就是頂點的 坐標,因此頂點位於  時,頂點也是最大值; 時,則是最小值。

經過頂點的豎直線 又稱為拋物線的對稱軸。

最大值和最小值

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導數法

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函數的最大值和最小值總是在駐點(又稱臨界點,穩定點)取得。以下的方法是用導數法來推導相同的事實,這種方法的好處是適用於更一般的函數。

設有函數 ,尋找它的極值時,我們必須先求出它的導數 然後,求出 的根: 因此,   值。現在,為了求出 ,我們把 代入   所以,最大值或最小值的坐標為: 

配方法

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由於實數的二次方皆大於等於0,因此當 時, 有最大或最小值 

二次函數的平方根

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二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓,要麼是雙曲線。如果 ,則方程式 描述了一條雙曲線。該雙曲線的軸由對應的拋物線 的最小值決定。如果最小值是負數,則雙曲線的軸是水平的。如果是正數,則雙曲線的軸是豎直的。如果 ,則方程式 的圖像要麼是一個橢圓,要麼什麼也沒有。如果對應的拋物線 的最大值是正數,則它的平方根描述了一個橢圓。如果是負數,則描述了一個空集

二元二次函數

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二元二次函數是以下形式的二次多項式: 這個函數描述了一個二次曲面。把 設為零,則描述了曲面與平面 的交線,它是一條圓錐曲線

最小值/最大值

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如果 ,則函數沒有最大值或最小值,其圖像是雙曲拋物面

如果  ,則當 時函數具有最小值,當 具有最大值。其圖像是橢圓拋物面。

二元二次函數的最大值或最小值在點   取得,其中:  如果  ,則函數沒有最大值或最小值,其圖像是拋物柱面。

如果  ,則函數在一條直線上取得最大值/最小值。當 時取得最大值, 時取得最小值。其圖像也是拋物柱面。

註釋

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  1. ^ 註:自變數 的取值範圍為任何實數
  2. ^ 參見婆羅摩笈多#代數
  3. ^ 參見花拉子米#代數
  4. ^ 參見韋達定理

參考資料

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  1. ^ 数学. 北京: 北京師範大學出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 
  2. ^ 賈士代. 初中代数41讲. 北京: 首都師範大學出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7. 
  3. ^ WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程. [2015-08-06]. (原始內容存檔於2015-07-29). 頁面存檔備份,存於網際網路檔案館

參考書目

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參見

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外部連結

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