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抽象代数中,一个系数多项式分裂域根域)是的“最小”的一个扩域,使得在其中可以被分解为一次因式的乘积,其中的中元素。一个上的多项式并不一定只有一个分裂域,但它所有的分裂域都是同构的:在同构意义上,上的多项式的分裂域是唯一的。

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术语与定义编辑

称一个系数 的多项式   的某个扩域 分裂当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解(分裂)成最简单的一次因式的乘积:

 

其中的  。换句话来说, 都在 中。

使得 在其中分裂的扩域 有很多,譬如对于某个使得 分裂的的 ,它任意的扩域 也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域,是指这样的一个扩域 

  1.  里, ,可以分解为一次因式的乘积;
  2.  的任何真子域(不等于自身)里, 都无法如此分解。这样的扩域称为  上的分裂域

例子编辑

如果 有理数域 ,多项式为

 

那么其分裂域 可以是在 中添加三次单位根 和2的立方根而得到的扩域: 。因为这时 可以写作:

 

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同,比如:

  • 多项式 实数域 R上的分裂域是复数域 C
  • 多项式 准有限域 GF7上的分裂域是GF72.

多项式 准有限域 GF7上的分裂域是GF7,因为在其上 已经分解完毕。

性质编辑

给定多项式 ,在  上的分裂域 ,假设在  ,分解为

 

那么 

对于域 的一个代数闭域扩域  上的一个多项式 ,存在  上的唯一的一个分裂域 ,使得 

对于 的一个可分扩张  伽罗瓦闭包是一个分裂域,也是 的包含 的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了 中任意元素 ,在 上的极小多项式 上的分裂域。

参见编辑

参考来源编辑

  • Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1]
  • David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]

外部链接编辑