打开主菜单

单位根

复平面上的三次单位根

数学上,次單位根次冪為1的複數。它們位於複平面的单位圆上,構成n邊形頂點,其中一個頂點是1。

目录

定义编辑

 

这方程的複數根   次單位根

單位的  次根有  個:

 

本原根编辑

單位的  次根以乘法構成 循環群。它的生成元是  本原單位根。 次本原單位根是 ,其中  互質 次本原單位根數目為歐拉函數 

例子编辑

一次單位根有一個 

二次單位根有兩個:  ,只有 是本原根。

三次单位根

 

其中 虚數單位;除 外都是本原根。

四次單位根是

 

其中  是本原根。

和式编辑

 不小於 时, 次單位根總和為 。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數

 

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點,而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理,由分圓方程的 項係數為零得出。