欧拉函数

此条目的主題是小於等於n的正整數中與n互質的數的數目。關於形式為$\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$的函數，請見「歐拉函數 (複變函數)」。

在數論中，對正整數n，歐拉函數$\varphi (n)$是小於等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為φ函數（由高斯所命名）或是歐拉總計函數（totient function，由西爾維斯特所命名）。

当n为1至1000的整数时$\varphi (n)$的值

例如$\varphi (8)=4$，因為1,3,5,7均和8互質。

欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起構成了欧拉定理的證明。

歷史：欧拉函數與費馬小定理

1736年，欧拉證明了费马小定理：

假若 $p$ 為質數，$a$ 為任意正整數，那麼 $a^{p}-a$ 可被 $p$ 整除。

然後欧拉予以一般化：

假若 $a$ 與 $n$ 互質，那麼 $a^{\varphi (n)}-1$ 可被 $n$ 整除。亦即，$a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$。

其中 $\varphi (n)$ 即為歐拉總計函數。如果 $n$ 為質數，那麼 $\varphi (n)=n-1$，因此，有高斯的版本：

假若 $p$ 為質數，$a$ 與 $p$ 互質（$a$ 不是 $p$ 的倍數），那麼 $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$。

欧拉函數的值

若$n$有標準分解$p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$（其中各$p_{i}$為互異的質因子，各$k_{i}\geq 1$為質因子的次數），則歐拉函數在該處的值為

$\varphi (n)=p_{1}^{k_{1}-1}p_{2}^{k_{2}-1}\cdots p_{r}^{k_{r}-1}(p_{1}-1)(p_{2}-1)\cdots (p_{r}-1),$

亦可等價地寫成

$\varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right).$

此結果可由$\varphi$在質數冪處的取值，以及其積性得到。

質數冪處取值

最簡單的情況有$\varphi (1)=1$（小于等于1的正整数中唯一和1互質的數就是1本身）。

一般地，若n是質數p的k次冪，則$\varphi (n)=\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。

積性

歐拉函數是積性函數，即是说若m,n互質，則$\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)$。使用中國剩餘定理有較簡略的證明：設A, B, C是跟m, n, mn互質的數的集，據中國剩餘定理，$A\times B$和$C$可建立雙射（一一對應）關係，因此兩者元素個數相等。

較詳細的證明如下：

設$N<mn$，且$N=k_{1}m+p=k_{2}n+q$。若$N$與$mn$互質，則$N$與$m$、$n$均互質。又因為$(k_{1}m+p,m)=(p,m),(k_{2}n+q,n)=(q,n)$，若$p,q$分別與$m,n$互質，則$N$一定和$mn$互質。反之亦然，即若$N$與$mn$互質，則亦有$p,q$分別與$m,n$互質。

由中國剩餘定理，方程組

$\left\{{\begin{matrix}N\equiv p{\pmod {m}}\\N\equiv q{\pmod {n}}\\\end{matrix}}\right.$

的通解可以寫成$N=kmn+pt_{1}m+qt_{2}n\ (k\in \mathbb {Z} ),$ 其中$t_{1},t_{2}$為固定的整數，故二元組$(p,q)$（要滿足$0<p\leq m,\ 0<q\leq n,\ (p,m)=1,\ (q,n)=1$）與小於$mn$且與$mn$互質的正整數$N$一一對應。

由$\varphi$的定義（和乘法原理），前一種數對$(p,q)$的個數為$\varphi (m)\varphi (n)$。而後一種數$N$的個數為$\varphi (mn)$。

所以，$\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n).$

公式的證明

結合以上兩小節的結果可得：若$n$有質因數分解式$n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$，則

${\begin{aligned}\varphi (n)&=\varphi \left(\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}\right)\\&=\prod _{i=1}^{r}\varphi \left(p_{i}^{k_{i}}\right)&{\text{（ 積 性 ）}}\\&=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}-1}(p_{i}-1)&{\text{（ 質 數 冪 處 取 值 ）}}\\&=n\prod _{i=1}^{r}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).\end{aligned}}$

例子

計算$72=2^{3}\times 3^{2}$的歐拉函數值：

$\varphi (72)=\varphi (2^{3}\times 3^{2})=2^{3-1}(2-1)\times 3^{2-1}(3-1)=2^{2}\times 1\times 3\times 2=24.$

性质

n的欧拉函数$\varphi (n)$ 也是循环群 C_n 的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。C_n 中每个元素都能生成 C_n 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， C_n 的所有子群都具有 C_d 的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将 C_d 的生成元个数相加，就将得到 C_n 的元素总个数：n。也就是说：

$\sum _{d\mid n}\varphi (d)=n$

其中的d为n的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于$\varphi (n)$的公式：

$\varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)$

其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。

對任何兩個互質的正整數a, m（即 gcd(a,m) = 1），$m\geq 2$，有

$a^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}$

即欧拉定理。

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与m互质的a都属于环 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 的单位元组成的乘法群$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ^{\times }$

當m是質數p時，此式則為：

$a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$

即費馬小定理。

生成函数

以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质：$\sum _{d|n}\varphi (d)=n$。

由$\varphi$(n)生成的狄利克雷级数是：

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.$

其中ζ(s)是黎曼ζ函数。推导过程如下：

$\zeta (s)\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)$

$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}$

$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}$

使用开始时的等式，就得到：$\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}$

于是$\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1)$

欧拉函数生成的朗贝级数如下：

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}$

其对于满足 |q|<1 的q收敛。

推导如下：

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r\geq 1}q^{rn}$

后者等价于：

$\sum _{k\geq 1}q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.$

欧拉函数的走势

随着n变大，估计$\varphi (n)$ 的值是一件很难的事。当n为质数时，$\varphi (n)=n-1$，但有时$\varphi (n)$又与n差得很远。

在n足够大时，有估计：

对每个 ε > 0，都有n > N(ε)使得 $\,n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n$

如果考虑比值：

$\,\varphi (n)/n,$

由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似$1-p^{-1}$的项的乘积。因此，使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数 ε 可以被替换为：

$C\,\log \log n/\log n.$

$\varphi$就平均值的意义上来说是与n很相近的，因为：

${\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)$

其中的O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n} 中随机选取两个数，则当n趋于无穷大时，它们互质的概率趋于 $6/\pi ^{2}$ 。一个相关的结果是比值$\varphi (n)/n$的平均值：

${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right).$

其他与欧拉函数有关的等式

1. $\;\varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)$
2. $\forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N$ 使得 $[(a>1\land n>1)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq n)]$
3. $\forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N$ 使得 $[(a>1\land n>6\land 4\nmid n)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq 2n)]$
4. $\sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}$
5. $\sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n){\text{ for }}n>1$
6. $\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)$
7. $\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor$
8. $\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(n)$
9. $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(\log(n))$

与欧拉函数有关的不等式

1. $\varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}$，其中n > 2，γ 为欧拉-马歇罗尼常数。
2. $\varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}$ ，其中n > 0。
3. 对整数n > 6，$\varphi (n)\geq {\sqrt {n}}$。
4. 当n为质数时，显然有$\varphi (n)=n-1$。对于合数的n，则有：

$\varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}$

程式代码

C++

template <typename T>
inline T phi(T n) {
    T ans = n;
    for (T i = 2; i * i <= n; ++i)
        if (n % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}

参考来源

• Milton Abramowitz、Irene A. Stegun， Handbook of Mathematical Functions， (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4. 24.3.2节.

• Eric Bach、Jeffrey Shallit， Algorithmic Number Theory, 卷 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, 8.8节，234页.

• Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 柯召，孙琦：数论讲义（上册），第二版，高等教育出版社，2001