匹配渐近展开法

匹配渐近展开法(英語:method of matched asymptotic expansions)是数学中用于获得方程方程组高精度近似解的一种常用方法,尤其常用于奇异摄动微分方程的求解。

对于许多奇异摄动问题而言,可以将定义域分成两个或多个部分。其中一部分(通常是范围最大的部分)可以通过正则摄动理论获得渐近展开级数解。然而这个解在其他较小的部分则十分不精确。如果这些部分处于定义域边界上被称为边界层,处于定义域中间则称为内层。可以将边界层或内层内的求解问题当作一个独立的摄动问题处理,以获得相应的“内解”(之前通过正则摄动获得的则称为“外解”)。最后再将内解与外解通过“匹配”的办法合并,以得到在整个定义域内都适用的近似解。[1][2][3]

示例编辑

考虑边值问题

 

其中 为时间 的函数,定义域从0到1,边界条件为   是一个小参数,满足 

外解(t = O(1))编辑

 十分小,故可以当作正则摄动问题处理。取 ,有

 

该方程的解为

 

其中 为常数。使用边界条件 ,有 。而如果使用另一个边界条件 ,则有 。这说明该解不可能满足所有边界条件,意味着 的假设不能在整个定义域中都适用(即奇异摄动问题)。于是,我们能够知道定义域中必定存在一个边界层,其中 与自变量 相比不能再忽略不计。这个边界层位于 一侧。于是我们使用另一个边界条件 得到适用于边界层以外区域的外解 

内解(t = O(ε))编辑

在边界层之内,  都很小,但它们大小相若,故可以定义一个新的O(1) 时间变量 。于是原先的边值问题可以改写为

 

将两边同乘 再取 ,得到

 

该方程的解为

 

其中  为常数。使用边界层内的边界条件 ,得到 。故内解为

 

匹配编辑

由于对于中间大小的  )需同时满足内解和外解,故可以令内解的外极限与外解的内极限相等,即 。由此得到常数 

合并编辑

 
 取不同值时的近似解

最后,将匹配好的内解与外解合并,以得到适用于整个定义域的近似解。具体而言,即是将内解与外解相加,再减去内、外解重合部分的值 (即外解的内极限,或内解的外极限)。此问题中,重合部分的值为 。故可以得到原边值问题的最终近似解为

 

参考文献编辑

  1. ^ Verhulst, F. Methods and Applications of Singular Perturbations: Boundary Layers and Multiple Timescale Dynamics. Springer. 2005. ISBN 0-387-22966-3. 
  2. ^ Nayfeh, A. H. Perturbation Methods. Wiley Classics Library. Wiley-Interscience. 2000. ISBN 978-0-471-39917-9. 
  3. ^ Kevorkian, J.; Cole, J. D. Multiple scale and singular perturbation methods. Springer. 1996. ISBN 0-387-94202-5.