匹配漸近展開法

匹配漸近展開法（英語：method of matched asymptotic expansions）是數學中用於獲得方程或方程組高精度近似解的一種常用方法，尤其常用於奇異攝動微分方程的求解。

對於許多奇異攝動問題而言，可以將定義域分成兩個或多個部分。其中一部分（通常是範圍最大的部分）可以通過正則攝動理論獲得漸近展開級數解。然而這個解在其他較小的部分則十分不精確。如果這些部分處於定義域邊界上被稱為邊界層，處於定義域中間則稱為內層。可以將邊界層或內層內的求解問題當作一個獨立的攝動問題處理，以獲得相應的「內解」（之前通過正則攝動獲得的則稱為「外解」）。最後再將內解與外解通過「匹配」的辦法合併，以得到在整個定義域內都適用的近似解。

示例

考慮邊值問題

$\epsilon y''+(1+\epsilon )y'+y=0,$

其中$y$為時間$t$的函數，定義域從0到1，邊界條件為$y(0)=0$與$y(1)=1$。$\epsilon$是一個小參數，滿足$0<\epsilon \ll 1$。

外解（t = O(1)）

由$\epsilon$十分小，故可以當作正則攝動問題處理。取$\epsilon =0$，有

$y'+y=0.\,$

該方程的解為

$y=Ae^{-t}\,$

其中$A$為常數。使用邊界條件$y(0)=0$，有$A=0$。而如果使用另一個邊界條件$y(1)=1$，則有$A=e$。這說明該解不可能滿足所有邊界條件，意味著$\epsilon =0$的假設不能在整個定義域中都適用（即奇異攝動問題）。於是，我們能夠知道定義域中必定存在一個邊界層，其中$\epsilon$與自變量$t$相比不能再忽略不計。這個邊界層位於$t=0$一側。於是我們使用另一個邊界條件$y(1)=1$得到適用於邊界層以外區域的外解$y_{O}=e^{1-t}\,$。

內解（t = O(ε））

在邊界層之內，$t$與$\epsilon$都很小，但它們大小相若，故可以定義一個新的O(1) 時間變量$\tau =t/\epsilon$。於是原先的邊值問題可以改寫為

${\frac {1}{\epsilon }}y''(\tau )+\left({1+\epsilon }\right){\frac {1}{\epsilon }}y'(\tau )+y(\tau )=0,\,$

將兩邊同乘$\epsilon$再取$\epsilon =0$，得到

$y''+y'=0.\,$

該方程的解為

$y=B-Ce^{-\tau }\,$

其中$B$與$C$為常數。使用邊界層內的邊界條件$y(0)=0$，得到$B=C$。故內解為

$y_{I}=B\left({1-e^{-\tau }}\right)=B\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right).\,$

匹配

由於對於中間大小的$t$（$\epsilon \ll t\ll 1$）需同時滿足內解和外解，故可以令內解的外極限與外解的內極限相等，即$\lim _{\tau \rightarrow \infty }y_{I}=\lim _{t\to 0}y_{O}\,$。由此得到常數$B=e$。

合併

$\epsilon$取不同值時的近似解

最後，將匹配好的內解與外解合併，以得到適用於整個定義域的近似解。具體而言，即是將內解與外解相加，再減去內、外解重合部分的值$\,y_{\mathrm {overlap} }$（即外解的內極限，或內解的外極限）。此問題中，重合部分的值為$e$。故可以得到原邊值問題的最終近似解為

$y(t)=y_{I}+y_{O}-y_{\mathrm {overlap} }=e\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right)+e^{1-t}-e=e\left({e^{-t}-e^{-t/\epsilon }}\right).\,$