匹配渐近展开法

匹配渐近展开法（英語：method of matched asymptotic expansions）是数学中用于获得方程或方程组高精度近似解的一种常用方法，尤其常用于奇异摄动微分方程的求解。

对于许多奇异摄动问题而言，可以将定义域分成两个或多个部分。其中一部分（通常是范围最大的部分）可以通过正则摄动理论获得渐近展开级数解。然而这个解在其他较小的部分则十分不精确。如果这些部分处于定义域边界上被称为边界层，处于定义域中间则称为内层。可以将边界层或内层内的求解问题当作一个独立的摄动问题处理，以获得相应的“内解”（之前通过正则摄动获得的则称为“外解”）。最后再将内解与外解通过“匹配”的办法合并，以得到在整个定义域内都适用的近似解。

示例

考虑边值问题

$\epsilon y''+(1+\epsilon )y'+y=0,$

其中$y$为时间$t$的函数，定义域从0到1，边界条件为$y(0)=0$与$y(1)=1$。$\epsilon$是一个小参数，满足$0<\epsilon \ll 1$。

外解（t = O(1)）

由$\epsilon$十分小，故可以当作正则摄动问题处理。取$\epsilon =0$，有

$y'+y=0.\,$

该方程的解为

$y=Ae^{-t}\,$

其中$A$为常数。使用边界条件$y(0)=0$，有$A=0$。而如果使用另一个边界条件$y(1)=1$，则有$A=e$。这说明该解不可能满足所有边界条件，意味着$\epsilon =0$的假设不能在整个定义域中都适用（即奇异摄动问题）。于是，我们能够知道定义域中必定存在一个边界层，其中$\epsilon$与自变量$t$相比不能再忽略不计。这个边界层位于$t=0$一侧。于是我们使用另一个边界条件$y(1)=1$得到适用于边界层以外区域的外解$y_{O}=e^{1-t}\,$。

内解（t = O(ε））

在边界层之内，$t$与$\epsilon$都很小，但它们大小相若，故可以定义一个新的O(1) 时间变量$\tau =t/\epsilon$。于是原先的边值问题可以改写为

${\frac {1}{\epsilon }}y''(\tau )+\left({1+\epsilon }\right){\frac {1}{\epsilon }}y'(\tau )+y(\tau )=0,\,$

将两边同乘$\epsilon$再取$\epsilon =0$，得到

$y''+y'=0.\,$

该方程的解为

$y=B-Ce^{-\tau }\,$

其中$B$与$C$为常数。使用边界层内的边界条件$y(0)=0$，得到$B=C$。故内解为

$y_{I}=B\left({1-e^{-\tau }}\right)=B\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right).\,$

匹配

由于对于中间大小的$t$（$\epsilon \ll t\ll 1$）需同时满足内解和外解，故可以令内解的外极限与外解的内极限相等，即$\lim _{\tau \rightarrow \infty }y_{I}=\lim _{t\to 0}y_{O}\,$。由此得到常数$B=e$。

合并

$\epsilon$取不同值时的近似解

最后，将匹配好的内解与外解合并，以得到适用于整个定义域的近似解。具体而言，即是将内解与外解相加，再减去内、外解重合部分的值$\,y_{\mathrm {overlap} }$（即外解的内极限，或内解的外极限）。此问题中，重合部分的值为$e$。故可以得到原边值问题的最终近似解为

$y(t)=y_{I}+y_{O}-y_{\mathrm {overlap} }=e\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right)+e^{1-t}-e=e\left({e^{-t}-e^{-t/\epsilon }}\right).\,$