向量算子

向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义,包括梯度散度旋度

拉普拉斯算符表示为:

向量算子必须写在它们所运算的标量场向量场的左侧,例如:

得到f的梯度,但是

是另一个向量算子,没有对任何量进行运算。

一个向量算子可对另一个向量算子进行运算,得到一个复合向量算子,例如上面的拉普拉斯算符。

三維空間中的純量函數與向量函數编辑

純量函數编辑

  為空間位置  多變數純量函數英语Function_of_several_real_variables ,例如:

 

表示了一個球面,這是一個标量场,其中每點的值等於該球半徑的平方。

向量函數编辑

  為空間位置  向量函數英语Vector-valued_function ,它可以被拆成三個分量,寫成以下的向量形式:

 

梯度與Nabla算子的定義编辑

純量函數   在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率:

 

因為是沿著座標軸的變率,所以可以寫成分量形式:

 

其加總即為   的組合變率:

 

如同微分算子   被用來表示某函數的導數,例如   ,我們使用   來表示組合變率:

 

其中   為一向量函數。組合變率   稱為   的導數(derivative),  則稱為   的本原(primitive)。

  本身是一個向量函數。在幾何與物理上,它指向變化速率最大的那個方向,在這個意義上,它被稱為   的梯度、或斜率。

Nabla算子的單獨使用编辑

我們可以把   當作一個函數,唸為  ,記為  ,它接受一個純量函數,並傳回一個向量函數。其運算式為:

 ,因此:
 

  當作一個形式上的向量,則可以用向量內積叉積導出散度旋度

散度:Nabla算子與向量函數的內積编辑

  當作一個形式向量,與向量函數   做內積:

 

這裡得到一個純量函數  ,稱為  散度

我們也可以將   當作一個算子,唸為  ,記為  ,它接受一個向量函數,但是傳回一個純量函數:

 

旋度:Nabla算子與向量函數的叉積编辑

  當作一個形式向量,與向量函數   做叉積:

 

這裡得到一個向量函數,稱為  旋度

我們也可以將   當作一個算子,唸為  ,記為  ,它接受一個向量函數,並傳回一個向量函數:

 

拉普拉斯算子编辑

對一個純量函數做梯度運算,可以得到一個向量函數,再對該向量函數做散度運算,又得回一個純量函數,稱為梯度的散度:

 

這稱為拉普拉斯算子,記為   或者  ,它接受一個純量函數,並傳回一個純量函數。

参见编辑

延伸阅读编辑

  • H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.