圓柱坐標系

圓柱坐標系（英語：cylindrical coordinate system）是一種三維坐標系統。它是二維極坐標系往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標 $z$ 專門用來表示 P 點離 xy-平面的高低。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ，徑向距離、方位角、高度，分別標記為 $(\rho ,\ \phi ,\ z)$ 。

用圓柱坐標 $(\rho ,\ \phi ,\ z)$ 來表示一個點的位置

定義

圓柱坐標 $(\rho ,\ \phi ,\ z)$ 的坐標曲面。紅色圓柱面的 $\rho =2$ 。藍色平面的 $z=1$ 。黃色半平面的 $\phi =-60^{\circ }$ 。 z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑球表示）。點 P 的直角坐標大約為 $(1.0,\ -1.732,\ 1.0)$ 。

如圖右，P 點的圓柱坐標是 $(\rho ,\ \phi ,\ z)$ 。

• $\rho$ 是 P 點與 z-軸的垂直距離。
• $\phi$ 是線 OP 在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角。
• $z$ 與直角坐標的 $z$ 等值。

符號約定

圓柱坐標系的記號並不統一。ISO標準31-11推薦(ρ, φ, z)，這裡的ρ是徑向距離，φ是方位角，而z是高度。但是，徑向距離也常表示為r或s，方位角也常表示為θ或t，高度坐標也常表示為h或x(如果圓柱軸被認為是水平的）或任何特定於上下文的字母。

坐標系變換

三維空間裏，有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系

更多信息：直角坐標系

使用以下方程式，可以從直角坐標變換為圓柱坐標：

${\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 、

${\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$ 、

$z=z$ 。

特別注意，當求取方位角時，必須依照 $(x,\ y)$ 所處的象限來計算正確的反正切值。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為直角坐標：

$x=\rho \cos \phi$ 、

$y=\rho \sin \phi$ 、

$z=z$ 。

球坐標系

用球坐標 $(r,\ \theta ,\ \phi )$ 來表示一個點的位置

更多信息：球坐標系

使用以下方程式，可以從球坐標變換為圓柱坐標：

$\rho =r\sin \theta$、

$\phi =\phi$ 、

$z=r\cos \theta$ 。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標：

$r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$ 、

$\theta =\arctan {\frac {\rho }{z}}$ 、

$\phi =\phi$ 。

圆柱坐标系下的微积分公式

圓柱坐標系的坐標因子分別為

$h_{\rho }=1$ 、

$h_{\phi }=\rho$ 、

$h_{z}=1$ 。

在許多關於圓柱坐標系的問題中，我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式；用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是

$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,\mathbf {\hat {z}}$ 。

面積元素是

$\mathrm {d} S=\rho \,d\varphi \,dz$ 。

體積元素是

$\mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z$ 。

劈形算符表示為

$\nabla ={\boldsymbol {\hat {\rho }}}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\mathbf {\hat {z}} {\frac {\partial }{\partial z}}$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial \Phi \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial z^{2}}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ ， $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用 $(\rho ,\ \phi ,\ z)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

圓柱坐標常被用來分析，選用 z-軸為對稱軸，有軸對稱特性的物體。例如，一個無限長的圓柱，具有直角坐標方程式 $x^{2}+y^{2}=c^{2}$；用圓柱坐標來表示，有一個非常簡易的方程式 $\rho =c$。這也是圓柱坐標系名稱的由來。

参见

• 在圆柱和球坐标系中的del