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抽象代數群論中,G外自同構群Out(G)是自同構群Aut(G)對內自同構子群Inn(G)的商群Aut(G)/Inn(G)。

G的一個自同構如不是內自同構,便稱為外自同構。外自同構群Out(G)的元素是G的內自同構子群Inn(G)在自同構群Aut(G)中的陪集,故其元素不是外自同構,同一元素可對應到某個外自同構和任何內自同構的複合,因此不能定義G的外自同構群於G上的作用。不過因為內自同構都將群G的元素映射到同共軛類的元素,所以可定義出外自同構群在G共軛類上的作用。

然而,若G阿貝爾群,則G內自同構群是平凡群,於是Out(G)可以自然地等同於Aut(G),即是Out(G)的每個元素都對應唯一的自同構,因此Out(G)可以作用於G上。(而這時G的共軛類也各僅有一個元素。)

目录

一些有限群的外自同構群编辑

G Out(G)  
    2
 n > 2)     歐拉函數
 p素數n > 1)    
對稱群 n ≠ 6) 平凡群 1
    2
交錯群 n ≠ 6)   2
    4

與中心對偶编辑

G的外自同構群,在下述意義下可以視為對偶於G中心Z(G):G的元素g所對應的共軛作用 是自同構,由此得映射 。這映射是群同態G的中心,而餘核G的外自同構群(因這映射的G的內自同構群)。這關係可用正合列表示:

 

如果一個群只有平凡外自構群和平凡中心,即 群同構時,稱之為完備群

有限單群的外自同構群编辑

施賴埃爾猜想指任何有限單群的外自同構群,都是可解的。按照有限單群分類去逐一檢驗,這項猜想已得證,但至今未有直接證明。

參考编辑