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代數 (環論)

(重定向自多元環

數學中,交換環上的代數多元環是一種代數結構,上下文不致混淆時通常逕稱代數

本頁面中的環都是指有單位的環,並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。

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定義编辑

給定一個交換環  

代數编辑

給定一個四元組   。如果以下兩個條件成立:

  1.   是一個  -
  2.  是一個   的內部運算(即 ),並且是 -雙線性的。也就是說內部運算 符合以下三點:
    •  
    •  
    •  

那麼我們說四元組   是一個   上的代數(或稱  -代數),或簡稱集合   是一個 -代數

結合代數、有單位的代數、交換代數编辑

  為一個  -代數

  • 如果內部運算 符合結合律,那麼我們說   是一個結合代數
  • 如果內部運算 有一個單位元(即  ),那麼此單位元是唯一的並且我們說   是一個有單位的代數
  • 如果內部運算 符合交換律,那麼我們說   是一個交換代數

:有些作者用結合代數來稱呼結合且有單位的代數,或是用交換代數來稱呼結合、有單位且交換的代數。本頁面使用上述段落給的定義而不採用這些稱呼。

等價定義编辑

一樣給定一個交換環  

給定一個四元組   。 這是一個 上的結合代數 結合且有單位的代數 結合、有單位且交換的代數)當且僅當以下三個條件成立:

  1.   是一個  -
  2.   是一個么環( 一個環、 一個交換環)。
  3.  是一個   的內部運算(即 ),並且是 -雙線性的。

註:上述條件中的第三個條件在第一及第二條件成立下等價為:

  •  是一個   的內部運算(即 ),並符合 

上述只是將最初定義重整理一次。然而我們可以用別種結構來理解結合且有單位的代數:

  • 給定一個結合且有單位 -代數   就等於給定一個二元組  :其中   是一個環,而   是一個滿足  的環同態。(  代表環   的中心,也就是  )。

原因是如果   是一個結合且有單位的 -代數,那麼   是一個環並且   是一個環同態,滿足 。反過來看,如果   是一個環,而   是一個滿足   的環同態,那麼我們可以定義外部運算 (即 )。  上環的結構與此外部運算結構使其成為一個  -模並且成為一個結合且有單位的  -代數。

將上述性質套用在交換環上,我們便可得到結合、有單位且交換的代數的另一種看法:

  • 給定一個結合、有單位且交換 -代數   就等於給定一個二元組  :其中   是一個交換環,而   是一個的環同態。

代數同態编辑

  -代數, -模間的同態   被稱作  -代數間的同態,若且唯若它滿足  。因此所有  -代數構成一個範疇,也可以探討代數間的同構。詳閱主條目代數同態

結構常數编辑

  -代數。當   是個自由的有限秩  -模(當   為域且  時自動成立)時,可選定一組基底  ,並將乘法寫作

  (採用愛因斯坦記號

此時常數   稱作   對基底  結構常數

例子编辑

  • 對於 矩陣  附上矩陣乘法是一個非交換但結合且有單位的 -代數。
  • 對二階以上的矩陣環,假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為  ,此時得到一個交換、非結合、無單位的代數。這是一個約當代數的例子。
  • 歐氏空間   對其外積構成一個非交換、非結合且無單位的  -代數。這是一個李代數的例子。
  • 四元數   是一個非交換但結合且有單位的  -代數。
  • 八元數   是一個非交換、非結合但有單位的  -代數。
  • 考慮所有在正無窮有極限且極限為0的函數 所形成的集合,附上一般的運算會是一個結合且交換但無單位的 -代數。

除了交換結合代數外,一般常研究的幾類代數包括李代數Clifford代數約當代數等等。近來一些物理學家運用的幾何代數也是一例。

代數上也可以賦予拓撲結構,並要求代數運算是連續的;最突出的例子是巴拿赫代數,這是現代泛函分析的基石之一。

參見编辑

文獻编辑