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交換代數中,可以探討一個交換環 本身,或一個 -模對一理想 的完備性。由於完備環有較容易處理的性質,完備化是研究交換環的基本工具。

幾何上,交換環的完備化對應到一個閉子概形形式鄰域

I-進拓撲编辑

對於一個交換環   及其理想  (通常取為極大理想),可以藉著取   為零元素的開鄰域,賦予   相應的拓撲結構,使之成為對加法的拓撲群。這種拓撲稱為  -進拓撲

對於一個  -模  ,同樣可考慮零元素的開鄰域  ,由此得到   上的  -進拓撲。

完備化及其性質编辑

  完備化定義為射影極限

 

正如其名,  對其  -進拓撲是完備的。對於固定的    是從  -模範疇(態射為模同態)到  -進拓撲  -模(態射為連續同態)的函子;透過自然同態  ,它是與之反向的遺忘函子的左伴隨函子,因而是右正合的。

對於諾特環 平坦 -模。此時,對任何有限生成  -模  ,自然態射   是個同構。綜上所述,對於諾特環  上的有限生成  -模,完備化是個正合函子

此外,完備化也可以用柯西序列構造,得到的對象是自然同構的。

例子编辑

  • p進整數   的完備化。
  • 形式冪級數環   是多項式環    的完備化。

文獻编辑

  • David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6