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对数表是指,通过计算得出从1开始各个整数对数(现在一般用常用对数),所编排成的表格。

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对数表的应用编辑

根据对数运算的基本公式,可知  (其中b>0),因此在知道两大数的对数情况下,可很快计算出两数的积和商。

对数表的使用方法编辑

查表(取得對數值)编辑

一般常見的常用對數表(「常用」一詞指以10為底)只提供log 1.000至log 9.999的值,故不在此範圍內的數字須先行處理,以下用取得 1055的對數值(求得log 1055)作為說明。

  1. 將數字轉換為科學記號表示法,如1055 = 1.055 × 103,其中只有1.055是對數表能直接處理的部分,而103的部分可直接得到log 103 = 3。
  2. 將1.055分為三個部分依序查表:1.0(找尋10,常見的對數表在表格的表示上故意省略了小數點)、0.05(小數點下第二位)、0.005(小數點下第三位)。
    1. 在對數表中的行找到10(即1.0)、欄位為5(即0.05)的值,得到0212,由於對數表的表格中所有對數值都需要乘以10−4才是真正值,故此0212代表0.0212。需注意此步驟只得到log 1.05 = 0.0212,小數點下第四位還沒有處理(需有表尾差或計算線性內插)。
    2. 如對數表附有表尾差(或稱比例部分),則可進一步處理0.005的部分,在表尾差中找尋欄位5,得到21(表示前一步驟所得的0.0212需要再修正增加0.0021),得到log 1.055 = 0.0212 + 0.0021 = 0.0233。注意表尾差的值需再乘以10−4才是真正值。
    3. 如對數表沒有表尾差,則可利用線性內插法求得。因1.05 < 1.055 < 1.06,尚需另外查表log 1.06 = 0.0253,解方程式: 可得 
  3. 總和上述結果,得到 

反查表(反求指數函數值)编辑

對數表提供查取對數值,故反向操作由對數值取得真數,則可得其反函數值,即求得指數函數值。但由於常見的對數表只提供log 1.000至log 9.999的值,故查表得到的對數值範圍將侷限在0.0000至1.0000之間,只有小數的部分可以處理,至於整數部分則直接轉換為10的次方數,以下用6.9628為例作說明,此反查的過程相當於計算106.9628

  1. 將6.9628拆解為整數6與小數0.9628兩個部分,以下針對0.9628查表,整數6代表106
  2. 找尋表格中數字為9628,因對數函數為單調遞增函數,故只要由左而右、從上至下便可依序尋得,對照行的標示值91(得9.1)、與欄位標示值8(0.08),得到100.9628 = 9.1 + 0.08 = 9.18。
  3. 總和上述結果,得到106.9628 = 106 × 9.18 = 9180000。

應用範例:乘法编辑

  1. 首先,假设我们要计算1055 × 8712。
  2. 將兩數分別取其對數,經查表可得log 1055 = 3.0233,log 8712 = 3.9395。
  3. 再将两對数值相加,得6.9628。
  4. 由對數表反查得到106.9628 = 9180000。
  5. 比較:直接计算1055 × 8712 = 9191160,由對數表查表所得誤差約−0.1%,由於一般常見的對數表只提供4位有效數字,故利用對數表作乘法運算時雖然只能確保結果的數量級(本例中為106)以及前幾位數字的準確,但是可以快速提供大數的乘法。

早期建立法编辑

最初,建立对数表必须先有小数指数表。

比如要建立真数精确到千分位而对数精确到万分位的对数表,首先得估计 的值。

首先查出  ,再算出两者与真数的差:前者为0.000079,后者为0.000151,显然对数值取为0.0004更恰当。

以此类推,分别算出  ……最后就成了对数表了。

参见编辑