摩尔-彭若斯广义逆
摩尔-彭若斯广义逆 A+(Moore–Penrose pseudoinverse)是最著名的广义逆阵,也是该词的通俗意思。
1903年,埃里克伊姆(Erik Ivar Fredholm)提出积分算子的伪逆的概念。摩尔-彭若斯广义逆先后被以利亚金·黑斯廷斯·摩尔(Eliakim Hastings Moore)(1920年)[1]、阿恩·布耶哈马(Arne Bjerhammar)(1951年) [2]、罗杰·彭罗斯(1955年)[3]发现或描述。
定义编辑
定义一
令PS表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A,设R(A)表示A的值域空间。摩尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件:
以上两个条件称为摩尔条件。满足摩尔条件的矩阵G称为矩阵A的摩尔逆矩阵。
定义二
彭若斯于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件[3]:
以上四个条件常称摩尔-彭若斯条件。满足全部四个条件的矩阵G,就称为A的摩尔-彭若斯广义逆矩阵,记作A+。
性质编辑
从摩尔-彭若斯条件出发,彭若斯推导出了摩尔-彭若斯广义逆的一些性质[3]:
- , , 和 都是幂等矩阵。
参考编辑
书籍编辑
- 张贤达. 矩阵分析与应用. 北京: 清华大学出版社. 2004年9月: 85–99. ISBN 7-302-09271-0 (中文).
文献编辑
- ^ Moore, E. H. On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society. 1920, 26 (9): 394–395. doi:10.1090/S0002-9904-1920-03322-7.
- ^ Bjerhammar, Arne. Application of calculus of matrices to method of least squares; with special references to geodetic calculations. Trans. Roy. Inst. Tech. Stockholm. 1951, 49.
- ^ 3.0 3.1 3.2 Penrose, Roger. A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1955, 51: 406–413. doi:10.1017/S0305004100030401.