摩尔－彭若斯广义逆

摩尔－彭若斯广义逆 A+（Moore–Penrose pseudoinverse）是最著名的广义逆阵，也是该词的通俗意思。

1903年，埃里克伊姆（Erik Ivar Fredholm）提出积分算子的伪逆的概念。摩尔－彭若斯广义逆先后被以利亚金·黑斯廷斯·摩尔（Eliakim Hastings Moore）（1920年）^[1]、阿恩·布耶哈马（Arne Bjerhammar）（1951年） ^[2]、罗杰·彭罗斯（1955年）^[3]发现或描述。

它常被用于求得或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解（最小二乘法）。

矩阵的摩尔－彭若斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的，并且可以通过奇异值分解求得。

定义编辑

定义一

令P_S表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A，设R(A)表示A的值域空间。摩尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件：

${\boldsymbol {AG}}={\boldsymbol {P}}_{R({\boldsymbol {A}})},{\boldsymbol {GA}}={\boldsymbol {P}}_{R({\boldsymbol {A_{H}}})}$

以上两个条件称为摩尔条件。满足摩尔条件的矩阵G称为矩阵A的摩尔逆矩阵。

定义二

彭若斯于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件^[3]：

${\boldsymbol {AGA}}={\boldsymbol {A}}$ ， ${\boldsymbol {AG}}$ 不一定是单位矩阵，但却不会改变 ${\boldsymbol {A}}$ 的列向量。
${\boldsymbol {GAG}}={\boldsymbol {G}}$ ， ${\boldsymbol {G}}$ 是乘法半群的弱逆
$({\boldsymbol {AG}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {AG}}$ ， ${\boldsymbol {AG}}$ 是埃尔米特矩阵
$({\boldsymbol {GA}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {GA}}$ ， ${\boldsymbol {GA}}$ 也是埃尔米特矩阵

以上四个条件常称摩尔-彭若斯条件。满足全部四个条件的矩阵G，就称为A的摩尔－彭若斯广义逆矩阵，记作A⁺。

从摩尔－彭若斯条件出发，彭若斯推导出了摩尔－彭若斯广义逆的一些性质^[3]：

$({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{\dagger })^{H}$
${\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}={\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }={\boldsymbol {A}}^{H}$
${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }{\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}$
${\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}$ ， ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }$ ， $({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})$ 和 $({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})$ 都是幂等矩阵。