定理1(唯一性)编辑
若數列 的極限存在,則極限是唯一的。[1]:29
- 证明
設數列 有兩個不相等的極限值 ,則對任意的 ,存在 ,使得 時,恆有 ,則接下來考慮 :
因此 ,故極限唯一。[1]:29
定理2(有界性)编辑
若數列 有極限,則 有界,即 。
[1]:29-30
- 證明
因為 ,所以對於 , ,使得
從而有
令
於是
即 有界。
注意有界數列不一定有極限,如數列 是一個有界數列,但沒有極限。
但是當數列有界,存在一個遞增或是遞減的子數列的話,則可以證明,數列存在極限。
我們也可以根據定理二來作推論,如果一個數列無界,則知道這個數列一定發散。[1]:30
定理3(保序性)编辑
若
且 ,則:30
[1]
- 證明:
已知
且 。取
由極限定義知: ,有
從而
,有
从而
所以當 時,有
即[1]:30-31