斐波那契数

無限的斐波那契數列中的整數
(重定向自斐波那契数列

斐波那契数意大利语:Successione di Fibonacci),又譯為菲波拿契數菲波那西數斐氏數黃金分割數。所形成的數列稱為斐波那契数列意大利语:Successione di Fibonacci),又譯為菲波拿契數列菲波那西數列斐氏數列黃金分割數列。這個數列是由意大利數學家斐波那契在他的《算盤書》中提出。

以斐波那契數為邊的正方形拼成的近似的黃金矩形(1:1.618)

數學上,斐波那契數是以遞歸的方法來定義:

用文字來說,就是斐波那契數列由0和1開始,之後的斐波那契數就是由之前的兩數相加而得出。首幾個斐波那契數是:

1123581321345589144233377610、 987……(OEIS數列A000045

特別指出0不是第一項,而是第零項。

起源

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公元1150年印度數學家Gopala金月在研究箱子包裝物件長宽剛好為1和2的可行方法數目時,首先描述這個數列。在西方,最先研究這個數列的人是比薩的李奧納多(意大利人斐波那契Leonardo Fibonacci, 1175-1250),他描述兔子生長的數目時用上了這數列:

 
兔子对的数量就是斐波那契数列
  • 第一個月初有一對剛誕生的兔子
  • 第二個月之後(第三個月初)牠們可以生育
  • 每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子
  • 兔子永不死去

假設在 月有兔子總共 對, 月總共有 對。在 月必定總共有 對:因為在 月的時候,前一月( 月)的 對兔子可以存留至第 月(在當月屬於新誕生的兔子尚不能生育)。而新生育出的兔子對數等於所有在 月就已存在的 

 
斐波纳契数是杨辉三角的每一条红色对角线上数字的和。

斐波纳契数也是杨辉三角形(即帕斯卡三角形)的每一条红色对角线上数字的和。

表達式

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為求得斐波那契數列的一般表達式,可以藉助線性代數的方法。高中的初等數學知識也能求出。

初等代數解法

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已知

  •  
  •  
  •  (n≥3)

首先構建等比數列

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化簡得
 
比較係數可得:
 
不妨設 
解得:

 
又因为有 , 即 為等比數列。

求出數列 

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由以上可得:
 

變形得:  。 令 

求數列 進而得到 

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 ,解得 。 故數列 為等比數列
 。而 , 故有 
又有  
可得 

得出 表達式

 

用數學歸納法證明表達式

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證明 ,其中 黃金比例  為任意整數
  •  為非負整數
 時, ,成立
 時, ,成立
設當  時皆成立,即  
 
 
亦成立
  •  為非正整數
 時,成立
 時, ,成立
設當  時皆成立,即  
 
 
亦成立

因此,根據數學歸納法原理,此表達式對於任意整數 皆成立

線性代數解法

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構建一個矩陣方程

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 為第 個月有生育能力的兔子數量, 為這一月份的兔子數量。

 

上式表達了兩個月之間,兔子數目之間的關係。而要求的是, 的表達式。

求矩陣的特徵值 

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根据特征值的计算公式,我们需要算出来   所对应的解。

展开行列式有: 

故當行列式的值為 0,解得   

將兩個特徵值代入

 


求特徵向量 

 = 

 = 

分解首向量

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第一個月的情況是兔子一對,新生0對。

 

將它分解為用特徵向量表示。

  (4)

 = 

可得到

  (5)

化簡矩陣方程

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將(4) 代入 (5)

 

根據3

 

求A的表達式

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現在在6的基礎上,可以很快求出 的表達式,將兩個特徵值代入6中

 
 
 (7)

(7)即為 的表達式

數論解法

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實際上,如果將斐波那契數列的通項公式寫成 ,即可利用解二階線性齊次遞迴關係式的方法,寫出其特徵多項式 (該式和表達斐波那契數列的矩陣的特徵多項式一致),然後解出 =  = ,即有 ,其中 为常数。我们知道 ,因此 ,解得 

組合數解法

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 [1]

 

黃金比例恆等式解法

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 黃金比例 ,則有恆等式  ,其中 為任意整數[註 1],則

 

因此得到 的一般式:

 

此一般式對任意整數 成立

近似值

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 為足夠大的正整數時,则

 
 

用計算機求解

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可通過編程觀察斐波那契數列。分為兩類問題,一種已知數列中的某一項,求序數。第二種是已知序數,求該項的值。

可通過遞歸遞推的算法解決此兩個問題。 事實上當 相當巨大的時候,O(n)的遞推/遞歸非常慢……這時候要用到矩陣快速幂這一技巧,可以使遞迴加速到O(logn)。

和黃金分割的關係

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開普勒發現數列前、後兩項之比 ,也組成了一個數列,會趨近黃金分割

 

斐波那契數亦可以用連分數來表示:

 

 

而黃金分割數亦可以用無限連分數表示:

 

而黃金分割數也可以用無限多重根號表示:

 

和自然的關係

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春黄菊頭狀花序上,小花呈螺旋狀排列,從不同方向可以數出21(深藍)和13(淺藍)條旋臂,為相鄰的斐氏數。類似的螺旋狀排列見於多種植物。

斐氏數列見於不同的生物學現象[2],如樹的分枝、葉在枝條上的排列英语Phyllotaxis、菠蘿聚花果上小單果的排列、[3]雅枝竹的花蕾、正在舒展的蕨葉、松毬的鱗的排列[4]、蜜蜂的家族樹[5][6]开普勒曾指出斐氏數列存在於自然界,並以此解釋某些花的五邊形形態(與黄金分割率相關)。[7]法國菊的「瓣」(舌狀花)數通常為斐氏數。[8]1830年,K. F. Schimper和A. Braun發現植物的旋生葉序中,連續兩塊葉之間轉過的角度與周角之比,約成整數比時,常出現斐氏數[9],如  [10]

恆等式

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資料來源:[11]

證明以下的恆等式有很多方法。以下會用組合論述來證明。

  •  可以表示用多個1和多個2相加令其和等於 的方法的數目。

不失一般性,我們假設  是計算了將1和2加到n的方法的數目。若第一個被加數是1,有 種方法來完成對 的計算;若第一個被加數是2,有 來完成對 的計算。因此,共有 種方法來計算n的值。

  •  

計算用多個1和多個2相加令其和等於 的方法的數目,同時至少一個加數是2的情況。

如前所述,當 ,有 種這樣的方法。因為當中只有一種方法不用使用2,就即  ( 項),於是我們從 減去1。

  1. 若第1個被加數是2,有 種方法來計算加至 的方法的數目;
  2. 若第2個被加數是2、第1個被加數是1,有 種方法來計算加至 的方法的數目。
  3. 重複以上動作。
  4. 若第 個被加數為2,它之前的被加數均為1,就有 種方法來計算加至0的數目。

若該數式包含2為被加數,2的首次出現位置必然在第1和 的被加數之間。2在不同位置的情況都考慮到後,得出 為要求的數目。

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  ,其中  的序數皆不限於正整數。[註 2]
    • 特別地,當 時, 
      • 更特別地,當  時,對於數列連續三項,有 
    • 另一方面,當 時,對於數列連續四項,有 [註 3]
  •   ,其中 黃金比例  為任意整數[註 1]
藉由上述公式,又可推得以下恆等式[註 4]
    •  [11]
    •  [11]

      特別地,當 時, 

數論性質

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公因數和整除關係

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  •  整除 ,若且唯若 整除 ,其中 
  •  
  • 任意連續三個菲波那契數兩兩互質,亦即,對於每一個 
 

斐波那契质数

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在斐波那契數列中,有質數[12] 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917……

截至2015年,已知最大的斐波那契質數是第104911個斐波那契數,一共有21925個十進制位。不过,人们仍不知道是不是有无限个斐波那契质数。[13]

§ 公因數和整除關係所述, 總能被 整除,故除 之外,任何斐氏質數的下標必同為質數。由於存在任意長英语Arbitrarily large的一列連續合数,斐氏數列中亦能找到連續任意多項全為合數。

大於 的斐氏數,必不等於質數加一或減一。[14]

與其他數列的交集

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斐波那契数列中,只有3個平方數01144[15][16]2001年,派特·奧蒂洛匈牙利语Pethő Attila證明衹有有限多個斐氏數是完全冪。[17]2006年,Y. Bugeaud、M. Mignotte、S. Siksek三人證明此種冪僅得0、1、8、144。[18]

1、3、21、55為僅有的斐氏三角形數Vern Hoggatt英语Verner Emil Hoggatt Jr.曾猜想此結論,後來由罗明證明。[19]

斐波那契數不能為完全数[20]推而廣之,除1之外,其他斐氏數皆非多重完全數[21],任兩個斐氏數之比亦不能是完全數[22]

n的週期性

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斐波那契數列各項模 的餘數構成週期數列英语periodic sequence,其最小正週期稱為皮萨诺周期[23],至多為 [24]。皮薩諾週期對不同 值的通項公式仍是未解問題,其中一步需要求出某個整數(同餘意義下)或二次有限域元素的乘法階數英语multiplicative order。不過,對固定的 ,求解模 的皮薩諾週期是週期檢測英语cycle detection問題的特例。

推廣

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斐波那西數列是斐波那西n步數列步數為2的特殊情況,也和盧卡斯數列有關。

和盧卡斯數列的關係

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反費波那西數列

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反費波那西數列的遞歸公式如下:

 

如果它以1,-1開始,之後的數是:1,-1,2,-3,5,-8, ...

即是 

亦可寫成 ,其中 是非負整數。

反費波那西數列兩項之間的比會趨近 

證明關係式

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證明 ,其中 是非負整數

 表示黃金分割數 ,則有 
 ,因此
 

巴都萬數列

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費波那西數列可以用一個接一個的正方形來表現,巴都萬數列則是用一個接一個的等邊三角形來表現,它有 的關係。

佩爾數列

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佩爾數列的遞歸公式為 ,前幾項為0,1,2,5,12,29,70,169,408,...

應用

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1970年,尤裏·馬季亞謝維奇指出了偶角標的斐波那契函數

 

正是滿足Julia Robison假設的丟番圖函數,因而證明了希爾伯特第十問題是不可解的。

電腦科學

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高為6的斐波那契樹。平衡因子以綠色標記,節點的高度則為紅色。

最左一條路徑上的鍵值全為斐氏數。

延伸閱讀

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  • KNUTH, D. E. 1997. The Art of Computer ProgrammingArt of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley. Chapter 1.2.8.
  • Arakelian, Hrant (2014). Mathematics and History of the Golden Section. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)
  • 克裏福德A皮科夫.數學之戀.湖南科技出版社.

參考文獻

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  1. ^ 斐波那契数列与组合数的一个关系及推广. [2014-01-04]. (原始内容存档于2019-05-02). 
  2. ^ Douady, S; Couder, Y. Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process (PDF). Journal of Theoretical Biology. 1996, 178 (3): 255–74. doi:10.1006/jtbi.1996.0026. (原始内容 (PDF)存档于2006-05-26). 
  3. ^ Jones, Judy; Wilson, William. Science. An Incomplete Education. Ballantine Books. 2006: 544. ISBN 978-0-7394-7582-9. 
  4. ^ Brousseau, A. Fibonacci Statistics in Conifers. Fibonacci Quarterly英语Fibonacci Quarterly. 1969, (7): 525–32. 
  5. ^ Marks for the da Vinci Code: B–, Maths (Computer Science For Fun: CS4FN), [2022-10-30], (原始内容存档于2009-05-31) 
  6. ^ Scott, T.C.; Marketos, P., On the Origin of the Fibonacci Sequence (PDF), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, 2014-03 [2022-10-30], (原始内容存档 (PDF)于2019-09-18) 
  7. ^ Livio 2003,第110頁.
  8. ^ Livio 2003,第112–13頁.
  9. ^ Varenne, Franck. Formaliser le vivant - Lois, Théories, Modèles. Hermann. 2010-11-16: 28 [2022-10-30]. ISBN 9782705678128. (原始内容存档于2022-10-30). 
  10. ^ The Secret of the Fibonacci Sequence in Trees. 美國自然史博物館. 2011 [2019-02-04]. (原始内容存档于2013-05-04). 
  11. ^ 11.0 11.1 11.2 李晨滔、馮勁敏. 費氏數列的性質整理 (PDF). 桃園縣立大園國際高中. [2018-01-28]. (原始内容存档 (PDF)于2019-06-25). 
  12. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A005478. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
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  20. ^ Luca, Florian. Perfect Fibonacci and Lucas numbers. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 2000, 49 (2): 313–18. ISSN 1973-4409. MR 1765401. S2CID 121789033. doi:10.1007/BF02904236. 
  21. ^ Broughan, Kevin A.; González, Marcos J.; Lewis, Ryan H.; Luca, Florian; Mejía Huguet, V. Janitzio; Togbé, Alain. There are no multiply-perfect Fibonacci numbers. Integers. 2011, 11a: A7 [2022-10-29]. MR 2988067. (原始内容存档于2022-01-23). 
  22. ^ Luca, Florian; Mejía Huguet, V. Janitzio. On Perfect numbers which are ratios of two Fibonacci numbers. Annales Mathematicae at Informaticae. 2010, 37: 107–24. ISSN 1787-6117. MR 2753031. 
  23. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A001175. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  24. ^ Freyd, Peter; Brown, Kevin S. Problems and Solutions: Solutions: E3410. The American Mathematical Monthly. 1993, 99 (3): 278–79. JSTOR 2325076. doi:10.2307/2325076. 
  25. ^ Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming. 1: Fundamental Algorithms 3rd. Addison–Wesley. 1997: 343. ISBN 978-0-201-89683-1. 
  26. ^ Adelson-Velsky, Georgy; Landis, Evgenii. An algorithm for the organization of information. Proceedings of the USSR Academy of Sciences英语Proceedings of the USSR Academy of Sciences. 1962, 146: 263–266 (俄语).  Myron J. Ricci 的英文翻譯页面存档备份,存于互联网档案馆)載於 Soviet Mathematics - Doklady, 3:1259–1263, 1962.

註釋

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  1. ^ 1.0 1.1 這可以透過   此三個等式,以及費氏數列的遞歸定義,以數學歸納法證明。
  2. ^ 例如當 時, 
  3. ^ 亦即「頭尾兩項乘積」與「中間兩項乘積」恆相差1
  4. ^ 利用指數律 、性質 ,以及「若 是有理數, 是無理數,且滿足 ,則 」證明。

參見

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外部連結

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