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2的算術平方根

(重定向自根号2
无理数
√2 - φ - √3 - √5 - δS - e - π


二進制 1.0110101000001001111...
十進制 1.4142135623730950488...
十六進制 1.6A09E667F3BCC908B2F...
连续分数

2的算術平方根,俗称“根号2”,记作,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数分数表示。

其最初65位為

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799OEIS中的数列A002193

是无理数的证明编辑

人們發現了许多方法证明 是无理数。以下是反證法的證明:

常見的證明编辑

  1. 假設 是有理數,即有整數  ,使得 
  2.  重寫成最簡分數 ,即  互質,且 
  3. 所以 ,即 
  4. 因為 必為偶数,故 亦是偶数
  5.  為偶数(奇数平方不會是偶数)
  6. 所以必有一整數 ,使得 
  7. 將(3)的式子代入(6): 
  8. 化简得 
  9. 因为 是偶数,所以 是偶数, 亦是偶数
  10. 所以  都是偶数,跟 是最簡分數的假設矛盾
  11. 因為導出矛盾,所以(1)的假設錯誤, 不是有理數,即是無理數

這個證明可推廣至證明任何非完全平方數正整數n,其算術平方根 為無理數。

另一個證明编辑

另外一個 是無理數的反證法證明較少為人所知,但證明方法也相當漂亮:

  1. 假設 是有理數,便可以表示成最簡分數 ,其中 , 為正整數
  2.  
  3. 由於 ,所以 
  4. 因為 
  5.  
  6. 所以 
  7.  是比 更簡的分數,與 是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為 ,斜邊為 等腰直角三角形,可以用尺規作圖作出直角邊為 ,斜邊為 的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。

性质编辑

2的算术平方根可以表示为以下的级数无穷乘积

 
 
 
 
 
 

2的算术平方根的连分数展开式为:

 

参见编辑

外部链接编辑