概周期函数

数学中,概周期函数(或殆周期函数)是一类有近似于周期性质函数,是连续週期函數的推廣。不同的周期函数由于周期不尽相同,其乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性,但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引進,后来赫曼·外尔贝西科维奇等人也有研究和推广[1]贝西科维奇英语Abram Samoilovitch Besicovitch因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学亚当斯奖英语Adams Prize[2]

定义编辑

概週期函數有若干個等價定義。根据哈那德·玻尔引进的分析學上的定义,一个定义域在实数域上的连续函数  如果满足:对任意正实数 ,都存在实数 ,使得任意长度为  的区间里至少存在一个数 ,使得对于任意的 ,都有:

 [3]

在高维欧几里得空间 中,也可以定义类似的概周期向量函数。

按照定义,所有周期函数都是概周期函数。

值域在復平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函数:ζ(s) 截出有限項后,得到的是一些形如

 

的項。其中的 。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線(也就是說固定s 的實數部份 ,而實數  在正負無窮大之間變動),那麼實際上每一項變成:

 

如果只觀察有限個這樣的函數的和(以避免  時的解析开拓的問題),那麼由於對不同的n 是線性獨立的,這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中,哈那德·玻尔開始注意形如:

 

三角多项式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數 的和。於是概週期函數的另一個定義出現了:如果对每个 ,都存在三角多项式函数: ,使得对于任意的 ,都有:

 

可以證明,這個定義與第一個定義是等價的[1]

例子编辑

考虑若干三角多项式函数:

 

其中 复数。每一个  都是周期函数,因此有限个  的和仍然是概周期函数。然而,对于某些和函数,比如说:

 

 不是周期函数,但仍然是概周期函数。

性质编辑

  • 如同周期函数一样,任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。
  • 如果  是概周期函数,那么对于任意实数      也是概周期函数。
  • 如果   都是概周期函数,那么    都是概周期函数。
  • 如果  是概周期函数,   的值域到 上的一致连续函数, 则 也是概周期函数。
  • 如果概周期函数的序列 在实轴上一致收敛于函数  ,则  也是概周期函数。
  • 如果  是概周期函数, 则  为概周期函数的充分必要条件是  的导函数  一致连续。
  • 如果  是概周期函数, ,则  为概周期函数的充要条件为  有界[3][1]

参看编辑

参考书籍编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 C. Corduneanu. Almost periodic functions. American Mathematical Society. 1989. ISBN 978-0-828-40331-3. 
  2. ^ A.S. Besicovitch (1932), Almost periodic functions , Cambridge Univ. Press
  3. ^ 3.0 3.1 汪宏喜. 概周期函数及其主要性质 (PDF). 《工科数学》. 1997,. 第13卷第2期 [2010-03-18]. (原始内容 (PDF)存档于2016-03-04).