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歐幾里得-歐拉定理

(重定向自歐幾里得-歐拉定理

數學上,歐幾里得-歐拉定理英语:Euclid–Euler theorem)是一條聯繫偶完全數梅森質數的定理。這定理指出每個偶完全數都可以寫成2p − 1(2p − 1),其中2p − 1是質數。形如2p − 1的質數稱為梅森質數,因此其中的p必須是質數。

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定理敘述编辑

一個偶數是完全數(即等於它的所有真因數的和),當且僅當它有形式2p−1Mp,其中Mp是梅森質數,即形為Mp = 2p − 1 的質數。[1]

歷史编辑

歐幾里得證明當2p − 1是質數時,2p − 1(2p − 1)是完全數(Prop. IX.36)。這是他的《幾何原本》中數論的最後一條結果。[2]

過了超過一千年後,約在公元1000年,海什木猜想所有偶完全數都有形式2p − 1(2p − 1),但他未能證明。[3]

直至18世紀,數學家歐拉始證明所有偶完全數都有形式2p − 1(2p − 1)。[1][4]因此確定偶完全數和梅森質數之間存在一一對應:每個偶完全數給出一個梅森質數,反之亦然。

證明编辑

歐拉的證明簡短[1],用到因數總和函數 σ 是積性函數的性質:對任何兩個互質正整數ab,都有σ(ab) = σ(a)σ(b)。要使這個公式成立,一個數的因數總和須包括該數本身,不只是真因數。一個數是完全數,當且僅當該數的因數總和是該數的兩倍。

定理中一個方向(歐幾里得所證明的)較為容易:如果2p − 1是質數,那麼

σ(2p − 1(2p − 1))
= σ(2p − 1)σ(2p − 1)
= (2p − 1)2p
= 2(2p−1(2p − 1))

至於另一個方向,設有偶完全數2kx,其中x是奇數。它是完全數,故此

2k + 1x = σ(2kx) = (2k + 1 − 1)σ(x).

上式右邊的奇因數2k + 1 − 1 至少等於3,且必定整除或等於左邊唯一的奇因數x,因此y = x/(2k + 1 − 1) 是x的真因數。將上式兩邊除以公因數2k + 1 − 1,並考慮x已知有因數xy,得出

2k + 1y = σ(x) = x + y + 其他各因數 = 2k + 1y + 其他各因數.

要使等式成立,必需無其他因數,因此y必定等於1,x必定是形為2k + 1 − 1的質數。定理得證。

參考文獻编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Stillwell, John, Mathematics and Its History, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer: 40, 2010, ISBN 9781441960528 .
  2. ^ Euclid, The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX) 2nd, Dover: 421–426, 1956 .
  3. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham, MacTutor History of Mathematics archive (英语) 
  4. ^ Euler, Leonhard, De numeris amicibilibus [On amicable numbers], Commentationes arithmeticae 2: 627–636, 1849 (拉丁语) . 最初在1747年2月23日向柏林科學院宣讀,在身後發表。特別參看section 8, p. 88.