正交多項式


函數若在區間(a,b)可積,且,則可作為權函數。

對於一個多項式的序列和權函數,定義內積

,這些多項式則稱為正交多項式(英語:Orthogonal Polynomials)。

除了正交之外,更有的話,則稱為規範正交多項式

例子编辑

若權函數為1,區間為(-1,1), ,對應的正交多項式有:

 
 
 
 
 

它們稱為勒讓德多項式

對於任意向量空間的基,Gram-Schmidt正交化可以求出一個正交基。對於多項式空間的基,正交化的結果便是勒讓德多項式。

常見的正交多項式编辑

性質编辑

  • 遞歸方程

 

其中  

  • 實根:所有正交多項式系中的正交多項式都有 個實,這些根是相異且在正交區間之內。
  • 奇偶性:若 為偶函數,且正交區間為 ,則有 

外部連結编辑