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拉盖尔多项式

数学中,以法国数学家埃德蒙·拉盖尔英语Edmond Laguerre命名的拉盖尔多项式定义为拉盖尔方程的标准解。

这是一个二阶线性微分方程

这个方程只有当n非负时,才有非奇异解。拉盖尔多项式可用在高斯积分法中,计算形如的积分。

这些多项式(通常用L0L1等表示)构成一个多项式序列英语polynomial sequence。这个多项式序列可以用罗德里格公式递推得到。

在按照下式定义的内积构成的内积空间中,拉盖尔多项式是正交多项式

拉盖尔多项式构成一个Sheffer序列英语Sheffer sequence

拉盖尔多项式在量子力学中有重要应用。氢原子薛定谔方程的解的径向部分,就是拉盖尔多项式。

物理学家通常采用另外一种拉盖尔多项式的定义形式,即在上面的形式的基础上乘上一个n!。

目录

前几个拉盖尔多项式编辑

前几个拉盖尔多项式的表达式与函数图像如下:

n  
0  
1  
2  
3  
4  
5  
6  
 
前六个拉盖尔多项式

递归定义编辑

拉盖尔多项式也可以通过递归的方式进行定义。首先,规定前两个拉盖尔多项式为:

 
 

然后运用下面的递推关系得到更高阶的多项式。

 

广义拉盖尔多项式编辑

上面提到的拉盖尔多项式的正交性,也可以用另外一种方式表达。即:如果X是一个服从指数分布随机变量(即,概率密度函数如下式):

 

那么:

 

指数分布不是唯一的伽玛分布,对于任意的伽玛分布(概率密度函数如下,α > −1,参见Γ函数

 

相应的正交多项式为形如下式的广义拉盖尔多项式(可以通过罗德里格公式得到):

 

有时也将上面的多项式称为连带(联属,伴随)拉盖尔多项式。当取α = 0时,就回到拉盖尔多项式:

 

广义拉盖尔多项式的性质与应用编辑

  • 拉盖尔函数可以由合流超几何函数和Kummer变换得到:       为整数时,截断为 阶拉盖尔多项式。
  •  阶拉盖尔多项式可以通过将莱布尼茨乘积求导公式英语Leibniz's theorem for differentiation of a product应用在罗德里格公式上而得到,结果为 
  • n阶拉盖尔多项式的首项系数为(−1)n/n!;
  • 拉盖尔多项式在x=0的取值(常数项)为  
  • Ln(α)n的正(应该注意到  构成以施图姆序列),且这些根全部位于区间 中。
  •  很大,而 不变, 时,拉盖尔多项式的渐近行为如下:
 ,以及
 [1]
  • 前几个广义拉盖尔多项式为:
 
 
 
 
  • 根据拉盖尔多项式的定义,可以使用秦九韶算法计算拉盖尔多项式,程序代码如下:
 function LaguerreL(n, alpha, x) {
    LaguerreL:= 1; bin:= 1 
    for i:= n to 1 step -1 {
        bin:= bin* (alpha+ i)/ (n+ 1- i)
        LaguerreL:= bin- x* LaguerreL/ i
    }
    return LaguerreL;
 }

递推关系编辑

拉盖尔多项式满足以下的递推关系:

 

特别地,有

 以及 ,或 

还有

 

运用以上式子可以得到以下四条关系式:

  •   
  •   or  
  •  
  •  

将它们组合在一起,就得到了最常用的递推关系式:

 

  均为整数时,拉盖尔多项式有以下的有趣性质:

 

进一步可以得到部分分式分解

 

拉盖尔多项式的导函数编辑

将拉盖尔多项式对自变量x求导k次,得到:

 

进一步有:

 

运用柯西多重积分公式英语Cauchy formula for repeated integration可以得到:

 

将拉盖尔多项式对参变量 求导,得到下面的有意思的结果:

 

广义拉盖尔多项式满足下面的微分方程:

 

可以与拉盖尔多项式的k阶导数所满足的微分方程作一比较。

 

仅在此式中, (后面这个符号又有了新的含义)。

于是,当 时,广义拉盖尔多项式可以用拉盖尔多项式的导数表示:   式中的上标(k)容易与求导k次混淆。

正交性编辑

伴随拉盖尔多项式在区间[0, ∞)上以权函数xα e −x正交:

 

这可由下式得到:

 

伴随对称核多项式可以用拉盖尔多项式表示为:

 

也有下面的递推关系:

 

进一步地,在伴L2[0, ∞)空间上,有:

 

在氢原子的量子力学处理中用到了下面的公式:

 

级数展开编辑

设一个函数具有以下的级数展开形式:

 

则展开式的系数由下式给出

 

这个级数在Lp空间 上收敛,当且仅当

 

一个相关的展开式为:

 

特别地

 

这可由下式得到:

 

还有,当 时,

 

这个结果可以由下式导出,

 

更多的例子编辑

幂函数可以展开为:

 

二项式可以展开为:

 

进一步可以得到:

 (当且仅当  时收敛)

更一般地

 

对于非负的整数 ,可以化简为:

 

 时,可以化简为:

 
 

雅可比Theta 函数有下面的表示:

 

随意选定参量t,贝塞尔函数可以表示为:   Γ函数可以展开为:

 

低阶不完全伽玛函数可展开为:

 
 

还有:

 

于是,高阶不完全伽玛函数就是:

 

 表示超几何函数

围道积分表示编辑

拉盖尔多项式可以用围道积分表示,如下式所示:

 

积分方向逆时针绕原点一周。

与埃爾米特多項式的关系编辑

广义拉盖尔多项式与埃爾米特多項式有下列关系:

 

以及

 

这里的Hn表示乘上了exp(−x2)的埃爾米特多項式(所谓的“物理学家形式”)。 正因为这样,广义拉盖尔多项式也在量子谐振子的量子力学处理中出现。

与超几何函数的关系编辑

拉盖尔多项式可以用超几何函数来定义,具体地说,是用合流超几何函数定义:

 

 阶乘幂,这里表示升阶乘

与贝塞尔函数的关系编辑

拉盖尔多项式与变形贝塞尔函数之间有以下关系:

 

进一步有:

 

外部链接编辑

注释编辑

  1. ^ Abramowitz, p. 506, 13.3.8

参考文献编辑

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
  • B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
  • Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
  • George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. 2000. ISBN 0-12-059825-6. 
  • S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.