- 假設最大的正整數不是 ,而是 ,有 ;
- , 為正的,所以由 得到 ;
- 但是 還是正整數,可是沒有任何正整數比 大,矛盾;
Q.E.D.
此一證明是無效的,因為最大的正整數不存在,因此不能如此假設。
- 由一等式開始
-
- 將兩邊轉成假分數
-
- 將兩邊開方
-
- 其會等於
-
- 兩邊同乘 以來消去分數
-
- 但任一數的開方之平方會給出原本的數來,故
-
Q.E.D.
此一證明是無效的,因為負數的開方不是实数, 推出 是错误的(事實上, , )。
1.令 ,且
2.將兩邊乘以a
-
3.將兩邊減掉
-
4.將兩邊因式分解
-
5.將兩邊除以
-
6.因為 因此
-
7.簡化
-
8.將兩邊除以b
-
Q.E.D.
這個證明的錯誤點在於第五步, 正因為a=b所以a-b等於零,而除以零是無效的。
- 由一等式開始
-
- 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示
-
- 將兩邊做因式分解
-
- 將兩邊加上相同的數
-
- 將兩邊再做一次因式分解
-
- 將兩邊開方
-
- 消去相同的項
-
Q.E.D.
那一證明內的錯誤在於 不表示 的這一事實。到此之前的算術都是正確的,而事實上, 。需注意的是,若將4減去 ,會得到 。若再平方的話,則會得到正的 。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話,則將會看見 會等於 。原始的 式子事實上是會導致一個正確的等式的(若此一問題是以此一純粹的方式運算的話)。
- 求 ︰
-
Q.E.D.
此證明的錯誤在於 只有在a與b不皆為負數才成立, 並不等於 。
首先,設定一個無窮級數。
-
因為 ,因此:
-
拆括號之後在於不同的地方加上括號:
-
,因此:
-
-
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下,將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的,因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數 。
-
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於, 不等於 ,正確等式應是 (下一步: )。
首先,我們知道:
-
-
由於
因此
因此
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於, 成立的前提有 。
設
設
由和立方與差立方公式可知:
-
-
由於
-
-
將 代入 ,可得:
-
因此:
-
代入 ,可得:
-
Q.E.D.
这个证明的错误在于:
1、在以上的假设下,可得 ,所以 和 并不是独立的;
2、在复数域中,由 得不出 。在此证明中,由 得出 是错误的。