牛奶凍曲線

牛奶凍曲线（blancmange curve）又称为高木曲线，因為在1901年由高木貞治所研究。另外也稱为 Takagi-Landsberg 曲线，一種更一般化的曲線，以高木貞治和 Georg Landsberg 的名字命名。 牛奶凍曲線也是 de Rham 曲线的特例。

牛奶凍函數的圖形

定義

定義域為單位區間的牛奶凍函數定義為

$b(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},$

其中 ${\textstyle s}$ 是三角波函數，定義為 $s(x)=\min _{n\in \mathbb {N} }\left|x-n\right|$。

而 Takagi–Landsberg 曲線的定義是更一般化的：

$T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x),$

其中$w$是一個變數使$|w|<1$。

• 
  parameter w=2/3
• 
  parameter w=1/2
• 
  parameter w=1/3
• 
  parameter w=1/4
• 
  parameter w=1/8

性質

收斂與連續性

以$w$（$|w|<1$）為參數無限和$T_{w}(x)$對所有$x$絕對收斂：因為對所有$x\in \mathbb {R}$有$0\leq s(x)\leq 1/2$，從而

$\sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}$。

以$w$為參數的$T_{w}(x)$也是連續的。因為可以如下證明${\textstyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$均勻收斂到$T_{w}$：

$\left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}$ 對所有 $x\in \mathbb {R}$。

其值在$n$夠大時可以任意的小。再根據均勻極限定理，$T_{w}$連續。

次可加性

$T_{w}$具有次可加性。

拋物線

當${\textstyle w={\frac {1}{4}}}$，$T_{w}$的圖形是拋物線，且用中點細分的構造方法曾被阿基米德描述。

可微性

對所有$0<w<1/2$，$T_{w}$在任意不是二进分数的$x\in \mathbb {R}$是可微的，且其結果是

$T_{w}'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(-1)^{x_{-n-1}},$

其中$(x_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$是$x$的二進位表達式的序列，也就是滿足${\textstyle x=\sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}x_{n}}$的序列。