牛奶冻曲线

牛奶冻曲线（blancmange curve）又称为高木曲线，因为在1901年由高木贞治所研究。另外也称为 Takagi-Landsberg 曲线，一种更一般化的曲线，以高木贞治和 Georg Landsberg 的名字命名。 牛奶冻曲线也是 de Rham 曲线的特例。

牛奶冻函数的图形

定义

定义域为单位区间的牛奶冻函数定义为

$b(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},$

其中 ${\textstyle s}$ 是三角波函数，定义为 $s(x)=\min _{n\in \mathbb {N} }\left|x-n\right|$。

而 Takagi–Landsberg 曲线的定义是更一般化的：

$T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x),$

其中$w$是一个变数使$|w|<1$。

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  parameter w=2/3
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  parameter w=1/2
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  parameter w=1/3
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  parameter w=1/4
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  parameter w=1/8

性质

收敛与连续性

以$w$（$|w|<1$）为参数无限和$T_{w}(x)$对所有$x$绝对收敛：因为对所有$x\in \mathbb {R}$有$0\leq s(x)\leq 1/2$，从而

$\sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}$。

以$w$为参数的$T_{w}(x)$也是连续的。因为可以如下证明${\textstyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$均匀收敛到$T_{w}$：

$\left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}$ 对所有 $x\in \mathbb {R}$。

其值在$n$够大时可以任意的小。再根据均匀极限定理，$T_{w}$连续。

次可加性

$T_{w}$具有次可加性。

抛物线

当${\textstyle w={\frac {1}{4}}}$，$T_{w}$的图形是抛物线，且用中点细分的构造方法曾被阿基米德描述。

可微性

对所有$0<w<1/2$，$T_{w}$在任意不是二进分数的$x\in \mathbb {R}$是可微的，且其结果是

$T_{w}'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(-1)^{x_{-n-1}},$

其中$(x_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$是$x$的二进制表达式的序列，也就是满足${\textstyle x=\sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}x_{n}}$的序列。