自由黎曼氣體

自由黎曼气体模型(英語:free Riemann gas model),又名素数子气体模型(英語:Primon gas model)或素数气体模型(英語:Prime number gas model[1],是统计物理学量子场论中的一个玩具模型。该模型刻画了素数理论与一个假想的、无相互作用的量子场理论之间的对应关系;后者的激发态被称为“素数子”(英語:Primon)。1990年,唐纳德•斯佩克特和伯纳德•朱利亚两人彼此独立地提出了这一模型;随后,巴卡斯,博威克和斯佩克特进一步研究了该理论与更为复杂的模型(例如弦论)之间的关联。[2][3][4][5]

模型编辑

考虑一个无相互作用的全同玻色子构成的量子系统。假设每个粒子有可列多个分立能级:

 ,且:
 是与之对应的湮灭算子。则真空态 和所有粒子态:
  

张成了态空间的一组正交基。令:

 

为全体素数的构成的升序列。则如下的映射:

 

是这组正交基到正整数的双射,后者由因数分解的唯一性保证。因此,系统的任意粒子态都可以用正整数唯一标记。在数学文献中,这种标记方法被称为哥德尔编号[1][2]

能级和正则配分函数编辑

现在假设单粒子态的能量满足:

 

满足上述性质的假想粒子称为素数子。此时,对于任意一个粒子态 ,其能量 都满足:

 

该系统在参数为 正则系综下的配分函数为黎曼函数

 

另一方面,配分函数可以写成如下的连乘积:

 

即得欧拉乘积公式[1][2]

超素数子编辑

上述素数子气体模型可以自然地推广到超对称的情形。在超对称模型中,每个玻色场的湮灭算子都存在一个与之对应的费米场的湮灭算子;令后者为:

 

如此,该模型的粒子态具有如下形式:

   

由于泡利不相容原理,每个费米场此时,每个粒子态可以利用如下定义的两个正整数标记:

 
 

类似地,任意一个正整数  的任何一个不含平方数因数的因数 构成的数对 唯一决定了该模型中的一个粒子态。其中,粒子态的能量仅由 决定,而其自旋统计性质仅取决于 

注意到如此构建的粒子态恰好为算子 的本征态:

 

其中函数 满足:

 ,若 的素因子数目为偶;
 ,若 的素因子数目为奇。

因此 默比乌斯函数[2]

威腾指标与素数定理编辑

算子 在参数为 的正则系综中的平均值为威腾指标:

 

由于模型中费米场与玻色场没有相互作用,求迹运算可以对玻色自由度和费米自由度分别进行:

 
 
 

另一方面,

 

由于超对称性,算子 在除真空态以外的任意具有确定 的粒子态构成的子空间上的表示矩阵都是无迹的。因而:

 
 

因此通过计算这个超对称素数子模型的威腾指标,可以得到如下关于默比乌斯函数的恒等式:

 

利用这一公式可推出素数定理[2]

进一步推广编辑

量子场论与素数理论的这种关联可以进一步地抽象为拓扑量子场论K理论的关联。为实现这一目的,可将素数推广为素理想

参考文献编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 André LeClair, Giuseppe Mussardo. Generalized Riemann hypothesis, time series and normal distributions. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2019-02-15, 2019 (2): 023203 [2019-08-07]. ISSN 1742-5468. doi:10.1088/1742-5468/aaf717. [永久失效連結]
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 D. Spector, Supersymmetry and the Möbius Inversion Function, Communications in Mathematical Physics, 1990, (127): 239–252 
  3. ^ Bernard L. Julia, J. M. Luck, P. Moussa, M. Waldschmidt , 编, Statistical theory of numbers, Number Theory and Physics, Springer Proceedings in Physics (Springer-Verlag), 1990, 47: 276–293 
  4. ^ I. Bakas, M.J. Bowick, Curiosities of Arithmetic Gases, J. Math. Phys, 1991, (32): 1881 
  5. ^ D. Spector, Duality, Partial Supersymmetry, and Arithmetic Number Theory, J. Math. Phys, 1998, (39): 1919–1927