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数学中,以Kenneth E. Iverson命名的“艾佛森括号”(Iverson bracket),是一种用方括号记号,如果方括号内的条件满足则为1,不满足则为0. 更确切地讲,

此处 P 是一个可真可假的命题。该记号由Kenneth E. Iverson在他的编程语言APL中引进[1],而特别使用方括号则是由高德纳倡导的,目的是避免含括号的表达式中的歧义。[2]

用途编辑

艾弗森括号通过自然的映射 布尔值转化为整数值,这就允许计数被表示为和式。例如,计数与小于n且正整数n互质的正整数的个数的欧拉函数可以表示为

 

更一般地,此记号使得将和式和积分式中繁多的条件移入并成为被加(积)项的一个因子成为可能。这将减少累加记号周围的空间,更重要的是这允许运算更加代数化。例如,

 

另一个例子是化简带特例的方程,例如公式

 

对一切n > 1有效,但是右边有 1/2 对于 n = 1。为了得到一个一切正整数n都成立的恒等式,可以利用艾弗森括号补充等式:

 

样例编辑

克罗内克函数 :  

符号函数单位阶跃函数

 
 

最值与绝对值:

 
 
 

上下取整函数

 
 

麦考利括号英语Macaulay brackets可被表示为

 

实数的三分律等价于下面的恒等式:

 

另见编辑

注释编辑

  1. ^ Ronald Graham, Donald Knuth, and Oren Patashnik. Concrete Mathematics, Section 2.2: Sums and Recurrences.
  2. ^ Knuth 1992.

参考来源编辑