铅垂线

(重定向自铅锤方向

铅垂线(英語:Plumb line),又称垂线力线[1]:29,在大地测量学中指重力作用的方向线[2]:142[3]:8。铅垂线与与重力矢量的方向处处相切,该方向又被称为铅垂方向,有时也直接以铅垂线代称。[4]:48-50重力场中,铅垂线通常是曲线而非直线,彼此互不平行,与其经过的重力等位面正交[4]:50铅垂线与参考椭球面法线之间的方向偏差被称为垂线偏差[4]:83

橘红色的横向虚线为各重力等位面,其中加粗的为大地水准面(Geoid);阳橙色的纵向虚线为铅垂线(true vertical),其与重力等位面正交

测量学中,铅垂线是测量外业的基准线。[3]:8[5]

曲率编辑

由于在重力场中,除轴线外,同一直线上各点的重力矢量方向通常各不相同。因此,铅垂线通常是一条具有曲率曲线。通过计算铅垂线的曲率,可以将地形表面上进行的天文测量数据归算到大地水准面上。[4]:53铅垂线在某点处的曲率   可以通过该点处的重力矢量的大小   及其一阶微分    得到:[4]:54

 

推导过程编辑

设铅垂线的线元矢量为  ,重力矢量为  ,两者间仅相差一个比例因子:[4]:53

 

根据微分几何曲率的计算公式,铅垂线投影在   平面上的曲率  

 

上式的二阶微分可由重力位  偏微分得到:

 

取沿向上的铅垂方向为   轴正向,建立局部坐标框架。此时重力位    平面的微分为零,即

 

将上式代入曲率   的计算公式,得:

 

其中,重力位沿   轴方向的微分  . 其中   为重力矢量的大小,即  . 则重力位的微分可替换为重力矢量大小的微分:[4]:54

 

同理可证,铅垂线投影在   平面上的曲率  

 

由于铅垂线与   轴在上述定义的局部坐标框架相切,即铅垂线投影在   平面上的曲率为零,再由总曲率的计算公式可以得到:[4]:54

 

参考文献编辑

  1. ^ 孔祥元; 郭际明; 刘宗泉. 大地测量学基础. 武汉大学出版社. 2001. ISBN 978-7-30-707562-7. 
  2. ^ Lu, Zhiping; Qu, Yunying; Qiao, Shubo. Geodesy: Introduction to Geodetic Datum and Geodetic Systems. Springer. 2014-05-23 [2020-04-05]. ISBN 978-3-642-41245-5. (原始内容存档于2020-06-12) (英语). 
  3. ^ 3.0 3.1 现代普通测量学. 清华大学出版社有限公司. 2001: 8 [2020-04-05]. ISBN 978-7-302-04717-9. (原始内容存档于2020-06-12) (中文). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 San Francisco W. H. Freeman and Company. Heiskanen Moritz 1967 Physical Geodesy. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1967. 
  5. ^ 潘正风; 程效军; 成枢; 王腾军; 翟翊. 数字地形测量学. 武汉大学出版社. 2015-07-01. ISBN 978-7-307-15677-7.