高合成数
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高合成数（highly composite number）指一类整數，任何比它小的自然数的因子数目均比这个数的因子数目少。這個詞是由斯里尼瓦瑟·拉马努金所創建。但是讓-皮埃爾·卡汗認為柏拉图已有提出此一概念，柏拉图認為城市理想的人口數為5040，因為這個數的因子數量多過任何一個比小於它的數[1]。
以數字6為例，小於6的數字中，因子最多的數是4，有3個因子（1,2,4），而6有4個因子（1,2,3,6），因此6是高合成数。
高合成数的名稱容易讓人誤以為其中都是合成数，其實前二個高合成数1和2都不是合成数。
最小的20个高合成数为：
| 1, | 2, | 4, | 6, | 12, | 24, | 36, | 48, | 60, | 120, | 180, | 240, | 360, | 720, | 840, | 1260, | 1680, | 2520, | 5040, | 7560, |  A002182
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| 正因子个数 | 1, | 2, | 3, | 4, | 6, | 8, | 9, | 10, | 12, | 16, | 18, | 20, | 24, | 30, | 32, | 36, | 40, | 48, | 60, | 64, | A002183
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高度合成数有无限个。為了证明这点，可用反证法。假设是最大的高度合成数。显然比有更多因子，所以才是最大的高度合成数，矛盾，故高度合成数有无限个。
大於6的高度合成數亦是豐數。
這些數常見於量度系統，在工程設計亦很常用，因為它們在分數計算時很方便。
若 Q(x)表示所有小於或等於x的高度合成数的数目，則存在两个均大於1的常数，使得∶
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參考資料 编辑
- ^ Kahane, Jean-Pierre, Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society, February 2015, 62 (2): 136–140. Kahane 引用柏拉图的《法律篇》 771c.