高合成数

高合成数(highly composite number)指一类整數,任何比它小的自然数因子数目均比这个数的因子数目少。這個詞是由斯里尼瓦瑟·拉马努金所創建。但是讓-皮埃爾·卡汗英语Jean-Pierre Kahane認為柏拉图已有提出此一概念,柏拉图認為城市理想的人口數為5040,因為這個數的因子數量多過任何一個比小於它的數[1]

古氏积木為例,說明前四個高合成数:1, 2, 4, 6

以數字6為例,小於6的數字中,因子最多的數是4,有3個因子(1,2,4),而6有4個因子(1,2,3,6),因此6是高合成数。

高合成数的名稱容易讓人誤以為其中都是合成数,其實前二個高合成数1和2都不是合成数。

最小的20个高合成数为:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, OEISA002182
正因子个数 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 48, 60, 64, OEISA002183

高度合成数有无限个。為了证明这点,可用反证法。假设是最大的高度合成数。显然有更多因子,所以才是最大的高度合成数,矛盾,故高度合成数有无限个。

大於6的高度合成數亦是豐數

這些數常見於量度系統,在工程設計亦很常用,因為它們在分數計算時很方便。

Q(x)表示所有小於或等於x的高度合成数的数目,則存在两个均大於1的常数,使得∶

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參考資料编辑

  1. ^ Kahane, Jean-Pierre, Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society, February 2015, 62 (2): 136–140 . Kahane 引用柏拉图的《法律篇》 771c.

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