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質數階乘

表示第一個和素數的乘積的整數
(重定向自Primorial
pn# 是計算第n質數階乘函數
質數階乘n#(紅色的)與 階乘n!(綠色的)的比較

質數階乘(又稱:质数階乘)是所有小於或等於該數的質數自然數n的質數階乘,寫作n#。例如10以下的質數有:2,3,5,7,所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值,寫作pn#。例:第個質數為5,所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。[1] 質數階乘與階乘不同於,質數階乘是質數乘積階乘自然數乘積。 質數階乘由Harvey Dubner英语Harvey Dubner定義並命名。

用質數定義编辑

n個質數pn質數階乘pn#定義為前n個質數的[2][3]

 

其中pk是第k個質數。

例如,p5#代表前五個質數的乘積:

 

前幾個質數階乘pn#是:

1, 2, 6, 30, 210, 2310(OEIS中的数列A002110

並定義p0# = 1 為空積英语empty product

質數階乘pn#的漸進遞增為:

 [3]

其中:

用自然數定義编辑

一般情況下,對於正整數n的一質數階乘n#(或稱作自然質數階乘)也可以被定義為:[2][5]

 

其中,π(n)是質數計數函數OEIS中的数列A000720),表示小於或等於某個實數n的質數的個數。

它等於:

 

例如,12# 代表質數≤ 12:

 

因為π(12) = 5,所以這個算式也可以寫成:

 

前幾個自然質數階乘n#是:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310

不難發現當n為合成數時,n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p5# = 11#,因為12為合成數。

n#自然對數是第一個切比雪夫函數英语Chebyshev function,记為  [6]

質數階乘n#的漸進遞增為:

 

質數階乘的概念可以用於證明素數是無限的。(參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式

[7]

恆等式编辑

黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function  表示:

 

質數階乘列表(部分)编辑

n n# pn pn#
0 1 無質數 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410

參見编辑

參考文獻编辑

  • Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.
  1. ^ 本段是翻譯自日文"素数階乗"條目
  2. ^ 2.0 2.1 埃里克·韦斯坦因. Primorial. MathWorld. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 OEIS中的数列A002110
  4. ^ 本段(質數階乘#用質數定義)是翻譯自英文Primorial條目的"Definition for prime numbers"段落
  5. ^ OEIS中的数列A034386
  6. ^ 埃里克·韦斯坦因. Chebyshev Functions. MathWorld. 
  7. ^ 本段(質數階乘#用自然數定義)是翻譯自英文條目Primorial中的Definition for natural numbers段落