質數階乘

表示第一個和素數的乘積的整數

質數階乘(又稱:素數階乘)是所有小於或等於該數的質數自然數n的質數階乘,寫作n#。例如10以下的質數有:2、3、5、7,所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值,寫作pn#。例:第個質數為5,所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。 質數階乘與階乘不同於,質數階乘是質數乘積階乘自然數乘積。 質數階乘由Harvey Dubner英語Harvey Dubner定義並命名。

pn# 是計算第n質數階乘函數
質數階乘n#(紅色的)與 階乘n!(綠色的)的比較

用質數定義

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n個質數pn質數階乘pn#定義為前n個質數的[1][2]

 

其中pk是第k個質數。

例如,p5#代表前五個質數的乘積:

 

前幾個質數階乘pn#是:

2630210、 2310、 30030、 510510、 9699690、 223092870、 6469693230、 ...(OEIS數列A002110

並定義p0# = 1 為空積

質數階乘pn#的漸進遞增為:

 [2]

其中:

用自然數定義

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一般情況下,對於正整數n的一質數階乘n#(或稱作自然質數階乘)也可以被定義為:[1][3]

 

其中,π(n)是質數計數函數OEIS數列A000720),表示小於或等於某個實數n的質數的個數。

它等於:

 

例如,12# 代表質數≤ 12:

 

因為π(12) = 5,所以這個算式也可以寫成:

 

前幾個自然質數階乘n#是:

12663030210、 210、 210、 210、 2310、 2310

不難發現當n為合成數時,n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p5# = 11#,因為12為合成數。

n#自然對數是第一個柴比雪夫函數,記為  。換句話說,若 是不大於n的質數的質數階乘,則 ,或等價地, [4]

質數階乘n#的漸進遞增為:

 

質數階乘的概念可以用於證明質數是無限的。(參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式

恆等式

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黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function  表示:

 

質數階乘列表(部分)

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n n# pn pn#
0 1 無質數 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410

參見

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參考文獻

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