平面波

在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在三维空间里，平面波（plane wave）是一种波动，其波阵面（在任何时刻，波相位相等的每一点所形成的曲面）是相互平行的平面。平面波的传播方向垂直于波前。假若平面波的振幅不是常数，例如，振幅是位置的函数，则称此种平面波为“非均匀平面波”。

一个平面波的波前行进于空间。

加以延伸，平面波这术语时常用来形容，在空间的一个局部区域里，近似于平面波的波动。例如，一个局部区域波源，像发射无线电波的天线，所发射出的电磁波，在远场区可以近似为平面波。等价地说，对于在一个均匀介质内，波的传播距离超长于波长的案例，在几何光学的正确极限内，射线区域性地对应于近似平面波。

数学表述

在时间等于零时，正相移导致波向左移位。

随着t增加，波向右移动，给定点x处的值振荡正弦波。

3D平面波的动画。 每种颜色表示波的不同的相位。

用数学来表述，波动方程为

$\nabla ^{2}f-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=0$ ；

其中，$f(\mathbf {x} ,t)$ 是描述波动的函数，$\nabla ^{2}$ 是拉普拉斯算符，$v$ 是波动传播的速度，$\mathbf {x}$ 是位置，$t$ 是时间。

描述平面波的函数 ${\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)$ 是波动方程的一种解答：

$\nabla ^{2}{\tilde {\psi }}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\psi }}}{\partial t^{2}}}=0$ 。

平面波 ${\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)$ 的形式为：

${\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)={\tilde {A}}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}$ ；

其中，$i$ 是虚数单位，$\mathbf {k}$ 是波矢，$\omega =kv$ 是角频率，${\tilde {A}}$ 是复值的振幅标量。

取复函数的实部，则可以得到其物理意义。

$\operatorname {Re} \{{\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)\}=|{\tilde {A}}|\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t+\arg {\tilde {A}})$ 。

注意到在任意时刻 $t=t_{0}$ ，波相位不变的曲面满足方程

$\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t_{0}+\arg {\tilde {A}}=c_{1}$ ，

或者，

$\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} =c_{2}$ ；

其中，$c_{1}$ 、$c_{2}$ 是任意常数。

所有满足这方程的 $\mathbf {x}$ 形成一个与 $\mathbf {k}$ 相互垂直的平面，平行波的波前就是这种平面，所有的波前都与 $\mathbf {k}$ 相互垂直，都相互平行。

对于向量的波动方程，像描述在弹性固体内的机械波或电磁波的波动方程：

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0$ ，

$\nabla ^{2}\mathbf {B} -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=0$ ；

其中，$\mathbf {E}$ 是电场，$\mathbf {B}$ 是磁场;

解答也很类似：

${\tilde {\boldsymbol {\psi }}}(\mathbf {x} ,\ t)={\tilde {\mathbf {A} }}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}$ ；

其中，${\tilde {\mathbf {A} }}$ 是复值的振幅向量。

横波的振幅向量垂直于波矢，像传播于均向性介质的电磁波。纵波的振幅向量平行于波矢，像传播于气体或液体的声波。

传播于某介质内，角频率与波矢之间的关系，可以以函数 $\omega (\mathbf {k} )$ 表达，称为介质的色散关系。对于这介质，波的相速度是

$v_{p}=\omega /k$ ，

群速度是

$v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}$ 。

参阅

• 波动方程

参考文献

• J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley: New York, 1998 )。