欧拉准则

在数论中，二次剩余的欧拉判别法（又称欧拉准则）是用来判定给定的整数是否是一个质数的二次剩余。

叙述

若$p$是奇质数且$p$不能整除$d$，则：

$d$是模$p$的二次剩余当且仅当：

$d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}$

$d$是模$p$的非二次剩余当且仅当：

$d^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}$

以勒让德符号表示，即为： $d^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {d}{p}}\right){\pmod {p}}$

举例

例子一：对于给定数，寻找其为二次剩余的模数

令$a=17$。对于怎样的质数$p$，17是模$p$的二次剩余呢？

根据判别法里给出的准则，我们可以从小的质数开始检验。

首先测试$p=3$。我们有：$17^{\frac {3-1}{2}}=17^{1}\equiv 2{\pmod {3}}\equiv -1{\pmod {3}}$，因此17不是模3的二次剩余。

再来测试$p=13$。我们有：$17^{\frac {13-1}{2}}=17^{6}\equiv 1{\pmod {13}}$，因此17是模13的二次剩余。实际上我们有：$17\equiv 4{\pmod {13}}$，而$2^{2}=4$.

运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去，可以得到：

对于质数$p=13,19,\cdots ,{\frac {17}{p}}=+1$（也就是说17是模这些质数的二次剩余）。

对于质数$p=3,5,7,11,23,\cdots ,{\frac {17}{p}}=-1$（也就是说17是模这些质数的二次非剩余）。

例子二：对指定的质数p，寻找其二次剩余

哪些数是模17的二次剩余？

我们可以手工计算：

$1^{2}=1$

$2^{2}=4$

$3^{2}=9$

$4^{2}=16$

$5^{2}=25\equiv 8{\pmod {17}}$

$6^{2}=36\equiv 2{\pmod {17}}$

$7^{2}=49\equiv 15{\pmod {17}}$

$8^{2}=64\equiv 13{\pmod {17}}$

于是得到：所有模17的二次剩余的集合是$\{1,2,4,8,9,13,15,16\}$。要注意的是我们只需要算到8，因为$9=17-8$，9的平方与8的平方模17是同余的：$9^{2}=(-8)^{2}=8^{2}\equiv 13{\pmod {17}}$.（同理不需计算比9大的数）。

但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余，就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余，只需要计算$3^{\frac {17-1}{2}}=3^{8}\equiv 81^{2}\equiv (-4)^{2}\equiv -1{\pmod {17}}$，然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。

欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关，并且在定义欧拉-雅可比伪素数（见伪素数）时会用到。

证明

首先，由于$p$是一个奇素数，由费马小定理，$d^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$。但是$p-1$是一个偶数，所以有

$(d^{\frac {p-1}{2}}-1)\cdot (d^{\frac {p-1}{2}}+1)\equiv 0{\pmod {p}}$

$p$是一个素数，所以$d^{\frac {p-1}{2}}-1$和$d^{\frac {p-1}{2}}+1$中必有一个是$p$的倍数。因此$d^{\frac {p-1}{2}}$模$p$的余数必然是1或-1。

• 证明若$d$是模$p$的二次剩余，则$d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}$

若$d$是模$p$的二次剩余，则存在$x^{2}\equiv d{\pmod {p}}$，$p$跟$d,x$互质。根据费马小定理得：

$d^{\frac {p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$

• 证明若$d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}$，则$d$是模$p$的二次剩余

$p$是一个奇素数，所以关于$p$的原根存在。设$a$是$p$的一个原根，则存在$1\leq j\leq p-1$使得$d=a^{j}$。于是

$a^{j{\frac {p-1}{2}}}\equiv 1{\pmod {p}}$

$a$是$p$的一个原根，因此$a$模$p$的指数是$p-1$，于是$p-1$整除${\frac {j(p-1)}{2}}$。这说明$j$是一个偶数。令$i={\frac {j}{2}}$，就有$(a^{i})^{2}=a^{2i}=d$。$d$是模$p$的二次剩余。

参考资料

• Legendre Symbol
• 二次互反律
• 潘承洞、潘承彪，《初等数论》，北京大学出版社。

外部链接

• 参考证明(中文)