无穷元组合学

数学分支无穷元组合学(infinitary combinatorics),又称组合集合论(combinatorial set theory),是将组合学的想法推广到无穷集。研究对象有连续图集合论的树拉姆齐定理在无穷集的推广、马丁公理。在2010年,本分支的开展的研究还有:连续统上的组合学[1]奇异基数英语Regular cardinal后继上的组合学[2]

无穷集的拉姆齐理论

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 序数 基数 为正整数。Erdős & Rado (1956)引入记号

 

作为下列命题的速记:

若将 所有 元子集的集合 分划 份,则有一份包含序型为 同质集

所谓同质集,意思是 的子集,且其所有 元子集皆在同一个分块中。也可以用染色的说法:

若有 种色,并将 的每个 元子集,各染一种色,则必有序型为 的同色集,即其所有 元子集皆同色。

  时,可省略不写。

假设选择公理(AC),则不存在序数 使得 。此即上段取 有限的原因。虽然不允许 为无穷大,但仍可以同时考虑任意大的 。符号

 

表示命题“若将 的所有有限子集染成 种色,则有序型为 的子集 ,使得其对每个  的所有 元子集皆同色。”(但不同的 之间,无需同色。)同样,当  时,可省略不写。

还有变式:   表示“若将 的所有 元子集染成红、蓝两色,则或有序型为 的子集,其所有 元子集皆为红,或有序型为 的子集,其所有 元子集皆为蓝。”


可以此记号表示的命题有:(下设 为基数)

 对所有有限的 成立(拉姆齐定理)。
 艾狄胥-雷多定理英语Erdős–Rado theorem)。
 谢尔宾斯基定理
 
  (艾狄胥-杜什尼克-米勒定理英语Erdős–Dushnik–Miller theorem)。

在无选择(choiceless,即选择公理不成立)的宇集中,上标为无穷的分划性质有可能成立。有部分是决定公理(AD)的推论,例如,当劳·马丁英语Donald A. Martin证明,AD推出

 

大基数

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一些大基数性质是用拉姆齐性质定义,如:

  • 弱紧基数英语Weakly compact cardinal 满足 
  • α艾狄胥基数英语Erdős cardinal 是满足 的最小基数;
  • 拉姆齐基数英语Ramsey cardinal 满足 

参考文献

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  1. ^ Blass, Andreas. Ch. 6: Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum [第6章:连续统的组合基数特征]. Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (编). Handbook of Set Theory [集合论手册]. Springer. 2010 (英语). 
  2. ^ Eisworth, Todd. Ch. 15: Successors of Singular Cardinals [第15章:奇异基数的后继]. Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (编). Handbook of Set Theory [集合论手册]. Springer. 2010 (英语).