無窮元組合學

數學分支無窮元組合學(infinitary combinatorics),又稱組合集合論(combinatorial set theory),是將組合學的想法推廣到無窮集。研究對象有連續圖集合論的樹拉姆齊定理在無窮集的推廣、馬丁公理。在2010年,本分支的開展的研究還有:連續統上的組合學[1]奇異基數英語Regular cardinal後繼上的組合學[2]

無窮集的拉姆齊理論

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 序數 基數 為正整數。Erdős & Rado (1956)引入記號

 

作為下列命題的速記:

若將 所有 元子集的集合 分劃 份,則有一份包含序型為 同質集

所謂同質集,意思是 的子集,且其所有 元子集皆在同一個分塊中。也可以用染色的說法:

若有 種色,並將 的每個 元子集,各染一種色,則必有序型為 的同色集,即其所有 元子集皆同色。

  時,可省略不寫。

假設選擇公理(AC),則不存在序數 使得 。此即上段取 有限的原因。雖然不允許 為無窮大,但仍可以同時考慮任意大的 。符號

 

表示命題「若將 的所有有限子集染成 種色,則有序型為 的子集 ,使得其對每個  的所有 元子集皆同色。」(但不同的 之間,無需同色。)同樣,當  時,可省略不寫。

還有變式:   表示「若將 的所有 元子集染成紅、藍兩色,則或有序型為 的子集,其所有 元子集皆為紅,或有序型為 的子集,其所有 元子集皆為藍。」


可以此記號表示的命題有:(下設 為基數)

 對所有有限的 成立(拉姆齊定理)。
 艾狄胥-雷多定理英語Erdős–Rado theorem)。
 謝爾賓斯基定理
 
  (艾狄胥-杜什尼克-米勒定理英語Erdős–Dushnik–Miller theorem)。

在無選擇(choiceless,即選擇公理不成立)的宇集中,上標為無窮的分劃性質有可能成立。有部分是決定公理(AD)的推論,例如,當勞·馬丁英語Donald A. Martin證明,AD推出

 

大基數

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一些大基數性質是用拉姆齊性質定義,如:

  • 弱緊基數英語Weakly compact cardinal 滿足 
  • α艾狄胥基數英語Erdős cardinal 是滿足 的最小基數;
  • 拉姆齊基數英語Ramsey cardinal 滿足 

參考文獻

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  1. ^ Blass, Andreas. Ch. 6: Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum [第6章:連續統的組合基數特徵]. Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (編). Handbook of Set Theory [集合論手冊]. Springer. 2010 (英語). 
  2. ^ Eisworth, Todd. Ch. 15: Successors of Singular Cardinals [第15章:奇異基數的後繼]. Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (編). Handbook of Set Theory [集合論手冊]. Springer. 2010 (英語).