覆叠空间

在拓扑学中，拓扑空间$X$的覆叠空间是一对资料$(Y,p)$，其中$Y$是拓扑空间，$p:Y\to X$是连续的满射，并存在$X$的一组开覆盖

$X=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U$

使得对每个$U\in {\mathcal {U}}$，存在一个离散拓扑空间$F$及同胚：$\phi _{U}:U\times F\simeq p^{-1}(U)$，而且$p\circ \phi _{U}:U\times F\to U$是对第一个坐标的投影。

满足上述性质的$p:Y\to X$称为覆叠映射。当$X$连通时，$F$的基数是个常数，称为覆叠的次数或重数。

空间$X$的覆叠构成一个范畴$\mathbf {Cov} _{X}$，其对象形如$p:Y\to X$，从$p:Y\to X$到$q:Z\to X$态射是连续映射$f:Y\to Z$，且$q\circ f=p$。

例子

覆叠空间的例子：$\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$

• 考虑映射$p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$，$p(x)=e^{2\pi ix}$。对任意$s=e^{2\pi it}\in \mathbb {S} ^{1}$，取其开邻域

$U:=\{e^{2\pi is}:|s-t|<{\frac {1}{2}}\}\simeq (-1/2,1/2)$

$f:(-1/2,1/2)\times \mathbb {Z} {\stackrel {\sim }{\to }}p^{-1}(U),\quad f(t,n)=t+n$

由此可见$p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$是覆叠映射。

• 莫比乌斯带的二重复叠空间是 $\mathbb {S} ^{1}\times [0,1]$。

性质

局部性质 对于任何一个覆叠$p:C\to X$都是一个局部同胚，这就是说，对任意的$c\in C$，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且覆叠p变为同胚。 纤维上的同胚

万有覆叠空间

连通空间$X$的万有覆叠空间（若其存在）是范畴$\mathbf {Cov} _{X}$的初始对象$u:{\tilde {X}}\to X$，换言之，对每个覆叠$p:X'\to X$，存在唯一的连续映射$f:{\tilde {X}}\to X'$使得$p\circ f=u$。万有覆叠若存在则必唯一。之前的$\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$便是一例。

若要求$X$局部道路连通且局部单连通，则万有覆叠空间存在。这类空间的主要例子有流形和单纯复形。在同样前提下，覆叠${\tilde {X}}\to X$是万有覆叠的充要条件是基本群$\pi _{1}({\tilde {X}},*)=\{e\}$。

正则覆叠及主丛

以下同样要求$X$连通、局部道路连通且局部单连通。对于覆叠映射$p:Y\to X$，选定$x\in X$。在$\mathbf {Cov} _{X}$中的自同构群$\mathrm {Aut} (p)$在纤维$p^{-1}(x)$上的作用是自由的（即：$\mathrm {Aut} (p)\to \mathrm {Aut} (p^{-1}(x))$是单射），对于$x\in X$的不同选取，此作用仅差个自然的同构。

若$\mathrm {Aut} (p)$的作用是传递的，则称$p:Y\to X$为正则覆叠。万有覆叠必正则，反之则不然。按照纤维丛的观点，覆叠空间正是离散纤维的纤维丛，正则覆叠对应到主丛。

文献

• Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2008-05-15]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容存档于2018-05-19）.