最优控制理论主要探讨的是让动力系统以在最小成本来运作,若系统动态可以用一组线性微分方程表示,而其成本为二次泛函,这类的问题称为线性二次(LQ)问题。此类问题的解即为线性二次调节器(英语:linear–quadratic regulator),简称LQR

LQR是回授控制器,方程式在后面会提到。LQR是LQG(线性二次高斯)问题解当中重要的一部分。而LQG问题和LQR问题都是控制理论中最基础的问题之一。

简介

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控制机器(例如飞机)的控制器,或是控制制程(例如化学反应)的控制器,可以进行最佳控制,方式是先设定成本函数,再由工程师设定加权,利用数学算法来找到使成本函数最小化的设定值。成本函数一般会定义为主要量测量(例如飞行高度或是制程温度)和理想值的偏差的和。算法会设法调整参数,让这些不希望出现的偏差降到最小。而控制量的大小本身也会包括在成本函数中。

LQR算法减少了工程师为了让控制器最佳化,而需付出的心力。不过工程师仍然要列出成本函数的相关参数,并且将结果和理想的设计目标比较。因此控制器的建构常会是迭代的,工程师在模拟过程中决定最佳控制器,再去调整参数让结果更接近设计目标。

在本质上,LQR算法是找寻合适状态回授控制器自动化方式。因此也常会有控制工程师用其他替代方式,例如全状态回授(也称为极点安置)的作法,此作法对控制器参数和控制器性能之间的关系比较明确。而LQR算法的困难之处在找合适的加权因子,这也限制了以LQR控制器合成的相关应用。

有限时间长度,连续时间的LQR

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方程式如下的连续时间线性系统, 

 

其二次成本泛函为

 

其中F、Q和R都是正定矩阵

可以让成本最小化的回授控制律为

 

其中 

 

 是连续时间Riccati方程的解:

 

边界条件如下

 

Jmin的一阶条件如下

(i) 状态方程

 

(ii) 协态方程

 

(iii) 静止方程

 

(iv) 边界条件

 

 

无限时间长度,连续时间的LQR

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考虑以下的连续时间线性系统

 

其成本泛函为

 

可以让成本最小化的回授控制律为

 

其中 定义为

 

 代数Riccati方程的解

 

也可以写成下式

 

其中

 

有限时间长度,离散时间的LQR

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考虑离散时间的线性系统,定义如下 [1]

 

其性能指标为

 

可以让性能指标最小化的最佳控制序列为

 

其中

 

 是由动态Riccati方程倒退时间佚代计算而得

 

从终端条件 开始计算。注意 没有定义,因为   是由 推导到其最终状态  

无限时间长度,离散时间的LQR

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考虑离散时间的线性系统,定义如下

 

其性能指标为

 

可以让性能指标最小化的最佳控制序列为

 

其中

 

 是离散代数Riccati方程(DARE)的唯一正定解。

 .

可以写成

 

其中

 .

而求解代数Riccati方程的一个方式是迭代计算有限时间的动态Riccati方程,直到所得的解收敛为止。

参考资料

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  1. ^ Chow, Gregory C. Analysis and Control of Dynamic Economic Systems. Krieger Publ. Co. 1986. ISBN 0-89874-969-7. 
  • Sontag, Eduardo. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. 1998. ISBN 0-387-98489-5. 

外部链接

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