伯恩赛德引理

伯恩赛德引理(英语:Burnside's lemma),也叫伯恩赛德计数定理Burnside's counting theorem),柯西-弗罗贝尼乌斯引理Cauchy-Frobenius lemma)或轨道计数定理orbit-counting theorem),是群论中一个结果,在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字,其中包括威廉·伯恩赛德英语William Burnside波利亚柯西弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己,他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了,而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)[1]

下文中,设 是一个有限作用在集合 上。对每个属于 ,令 表示 中在 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数(记作 )由如下公式给出:[2]

从而轨道数(是一个自然数无穷)等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值(故同样是自然数或无穷)。

应用举例

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使用两种颜色对三个珠子染色,共有 种染色方法,而只有四种旋转后不重合的染色方法,用二元数列表示为 。旋转对称将染色方法的集合X分为四个轨道:   考虑三种可能的旋转:“空旋转”,顺时针转一个单位,顺时针转两个单位;它们对应的不动点数目分别为8,2,2,因此轨道数为  

对于长度为4的环状排列,共有16种染色方法,4个旋转;0个单位的旋转有16个不动点,1个单位和3个单位的旋转有不动点0000,1111;2个单位的旋转有不动点0000,0101,1010,1111。因此轨道数为   具体地,0000,0001,0011,0101,0111,1111为六种旋转后不重合的染色方法。

立方体染色

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使用三种颜色对立方体的六个面染色,将旋转后相同的视为一种染色,染色方式总数可以由上述公式确定。

选取一个定向,设 是这个定向立方体所有 种可能面染色组合,立方体的旋转群 显然是作用 上的群。且若 的两个元素(染色组合)属于同一轨道,则其中一个染色可以通过旋转变成另一个染色,因而考虑旋转对称后不同的染色数就是 关于 的轨道数,可以通过数  个元素的不动集合的大小求出来。

 
立方体面染色
  • 一个恒同元素保持 X 的所有 36 个元素不变。
  • 六个 90 度面旋转,每一个保持 X 的 33 个元素不变。[3]
  • 三个 180 度面旋转,每一个保持 X 的 34 个元素不变。
  • 八个 120 度顶点旋转,每一个保持 X 的 32 个元素不变。
  • 六个 180 度边旋转,每一个保持 X 的 33 个元素不变。


这些自同构的详细检验可参见循环指标英语Cycle index

这样,平均不动集合的大小是

 

从而有 57 种旋转不同的立方体面 3 色染色方式。一般地,使用 n 种颜色,立方体不同的旋转面染色数是

 

证明

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定理的证明利用轨道-中心化子定理以及 X 是轨道的不交并的事实:

 
 
 

历史:该引理不属于伯恩赛德

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威廉·伯恩赛德在他1897年关于有限群的书中陈述并证明了这个引理,将其归于弗罗贝尼乌斯 1887。不过在弗罗贝尼乌斯以前,这个公式在1845年已经为柯西所知。事实上,这个引理明显如此有名,伯恩赛德不过忽略了将其归于柯西。因此,这个引理有时候也称为不是伯恩赛德的引理 [4]。这可能看起来不那么有歧义,伯恩赛德对这个领域贡献了许多引理。

注释

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  1. ^ 伯恩赛德 1897,§119
  2. ^ Rotman 1995,Chapter 3
  3. ^ “90 度面旋转”指选定一个面面向自己,将立方体逆时针旋转90度,立方体六个面所对应的面旋转都不同,因而共有六个“90 度面旋转”。若将面向自己的一面标记为1号,背向自己的一面为6号,其他四个面逆时钟方向分别标记为2345号,则此旋转对效于对换(5234)。若一染色为不动点,则不被旋转轴所经过的四个面的颜色必须全部相同,有三个独立染色自由度,所以有3自由度 = 33 个不动点。
  4. ^ 纽曼 1979

另见

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参考文献

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