数学上,一个带有度量d度量空间X称为加倍空间,若存在常数M > 0,使得对X中任何点x和任何r > 0,中心为x,半径为r的球B(xr) = {y:|d(x, y)r},可以用不多于M个半径为r / 2 的球覆盖。[1]欧氏空间d赋以通常的欧氏度量是加倍空间,其加倍常数M取决于维数d


Assouad嵌入定理

编辑

度量几何中一个重要问题,是描述哪些度量空间可以用双利普希茨映射嵌入到欧氏空间中。如此的度量空间本质上可视为欧氏空间的子集。并非所有度量空间都能嵌入到欧氏空间。加倍空间较可能嵌入得到,因为这些空间的加倍条件大概表示空间不是无限维。但是加倍空间并不都能嵌入到 欧氏空间中。带有Carnot度量海森伯群是加倍空间,但不能嵌入到任何欧氏空间中。.[2]

Assouad定理说,对一个M-加倍度量空间X,及任何0 < ε < 1,若赋予X度量d(xy)ε ,则有一个L-双利普希茨映射f:X → d,其中dL依赖于 Mε

加倍测度

编辑

定义

编辑

度量空间X上的一个测度称为加倍测度,如果任一个球的测度,和两倍大的球的测度差不多。确切来说,如果存在常数C > 0,使得对X中任何x和任何r > 0,有

 

此时称μC-加倍的。

一个存在加倍测度的度量空间,必定是一个加倍空间,其加倍常数依赖于常数C

相反地,任何完备加倍度量空间都有加倍测度。[3]

例子

编辑

一个简单例子是欧氏空间上的勒贝格测度。不过欧氏空间上也有相对于勒贝格测度是奇异的加倍测度。在实数线上的一个例子,是以下测度列的弱极限[4]

 

另外,区间[0, 1]上可以构造一个加倍奇异测度如下:对每个k ≥ 0,划分单位区间[0,1]为3k个长度3k的区间。设Δ为对每个k得到的所有这些区间的集合。对其中每个区间I,将I中间三分之一的区间记为m(I)。选定0 < δ < 1,设μ为测度,使得μ([0, 1]) = 1,并对Δ中的每个区间I,有μ(m(I)) = δμ(I)。这个在[0, 1]上的测度μ,相对于勒贝格测度是奇异的。[5]

应用

编辑

加倍测度的定义看似随意,或似乎纯粹与几何有关。不过古典调和分析中的很多结果,都可以推广到有加倍测度的度量空间中。

参考

编辑
  1. ^ Heinonen, Juha. Lectures on Analysis on Metric Spaces. Universitext. New York: Springer-Verlag. 2001: x+140. ISBN 0-387-95104-0. 
  2. ^ Pansu, Pierre. Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un. Ann. of Math. (2). 1989, 129 (1): 1–60. 
  3. ^ Luukainen, Jouni; Saksman, Eero. Every complete doubling metric space carries a doubling measure. Proc. Amer. Math. Soc. 1998, 126 (2): 531–534. 
  4. ^ Zygmund, A. Trigonometric Series. Vol. I,II. Cambridge Mathematical Library 3rd ed. Cambridge University Press. 2002: xii; Vol. I: xiv+383 pp.; Vol. II: viii+364. ISBN 0-521-89053-5. 
  5. ^ Kahane, J.-P. Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires. Enseignement Math. (2). 1969, 15: 185–192.